Question

Sobre uma circunferência marcam-se 12 pontos. Quantos polígonos múltiplos de 3 poderemos ter?

Answer 1

Resposta:

Queremos formar polígonos múltiplos de 3 com os 9 pontos.

Os polígonos passíveis são: 3, 6 e 9.

Então, temos que calcular a combinação deles e depois somá-los.

POLÍGONOS DE 3 VÉRTICES

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

O número de polígonos múltiplos de 3 que podem ser formados é de 1365 polígonos.

Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é a combinação.

Em análise combinatória, a combinação é utilizada quando desejamos saber de quantas maneiras podemos agrupar os n elementos de um grupo, em agrupamentos com p elementos. A combinação não diferencia a ordem dos elementos dentro dos agrupamentos (assim, por exemplo, os agrupamentos {a, b, c} e {c, b, a} são os mesmos).

Com isso, para o caso da circunferência, é desejado saber quantos polígonos com número de lados múltiplo de 3 é possível obter. Para descobrirmos esse valor, devemos utilizar a combinação. Assim, o problema se torna de quantas formas podemos combinar 3, 6, 9 e 12 pontos distintos dos 12 que foram marcado sobre a circunferência.

Assim, utilizando a fórmula da combinação com n = 12 pontos da circunferência, e com p = 3 pontos dos polígonos com 3 lados, temos:

                                              $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!}\\\\C_{12}^3 =\frac{12!}{3!9!}\\\\C_{12}^3= \frac{12*11*10*9!}{3!9!} = \frac{12*11*10}{3*2*1} \\\\C_{12}^3=220$

Utilizando a fórmula da combinação com n = 12 pontos da circunferência, e com p = 6 pontos dos polígonos com 6 lados, temos:

                                        $C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!}\\\\C_{12}^6 =\frac{12!}{6!6!}\\\\C_{12}^6= \frac{12*11*10*9*8*7*6!}{6!6!} = \frac{12*11*10*9*8*7}{6*5*4*3*2*1} \\\\C_{12}^6=924$

Utilizando a fórmula da combinação com n = 12 pontos da circunferência, e com p = 9 pontos dos polígonos com 9 lados, temos:

                                              $C_{12}^9 = \frac{12!}{9!(12-9)!}\\\\C_{12}^9 =\frac{12!}{9!3!}\\\\C_{12}^9= \frac{12*11*10*9!}{9!3!} = \frac{12*11*10}{3*2*1} \\\\C_{12}^9=220$

Por fim, é possível formar apenas 1 polígono de 12 lados com 12 pontos.

Com isso, somando o número de polígonos de 3, 6, 9 e 12 lados, temos que o número de polígonos múltiplos de 3 que podem ser formados é 220 + 924 + 220 + 1 = 1365.

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