Question

determine a geratriz de 0,222

Answer 1

$\boxed{0,222...=\frac{2}{9}}$

Utilize uma calculadora para confirmar a resposta.

Answer 2

Por manipulação de equações:

Chame 0,222... de x:

$x = 0,222...$

Multiplicando a equação por 10:

$10*x = 10*0,222...\\10x=2,222...$

Veja que 2,222... = 2 + 0,222...:

$10x = 2 + 0,222...$

Substituindo 0,222... por x:

$10x = 2 + x\\10x-x=2\\9x=2\\\\\boxed{\boxed{x=2/9}}$
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Por progressão geométrica:

$0,222... = 0,2 + 0,02 + 0,002 + ...\\0,222... = (2/10) + (2/100) + (2/1000) + ...$

Veja que temos uma soma de termos de uma P.G

$a_{1}=2/10\\a_{2}=2/100\\\\q=a_{2}/a_{1}=(2/100)/(2/10)=(2/100)*(10/2)=1/10$

Quando a razão da P.G está entre 0 e 1 (1/10 = 0,1), temos a soma dos termos infinitos de uma P.G, que é dada por Sn = a₁ / (1 - q)

$S_{n} = a_{1} / (1 - q)\\0,222... = a_{1}/(1 - q)\\0,222... = (2/10)/(1-[1/10])\\0,222...=(2/10)/(9/10)\\0,222...=(2/10)*(10/9)\\\\\boxed{\boxed{0,222...=2/9}}$