Question

Calcule a área total e volume da pirâmide abaixo:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Área total

• Área da base

$\sf A_{b}=5^2$

$\sf A_{b}=5\cdot5$

$\sf A_{b}=25~cm^2$

• Área lateral

As faces laterais são triângulos equiláteros (possuem os três lados iguais)

A área lateral é:

$\sf A_{L}=4\cdot\dfrac{5^2\sqrt{3}}{4}$

$\sf A_{L}=4\cdot\dfrac{25\sqrt{3}}{4}$

$\sf A_{L}=\dfrac{100\sqrt{3}}{4}$

$\sf A_{L}=25\sqrt{3}~cm^2$

A área total é igual a soma da área da base e da área lateral

$\sf A_{T}=25+25\sqrt{3}$

$\sf \red{A_{T}=25\cdot(1+\sqrt{3})~cm^2}$

b) Volume

• Apótema da base

$\sf a_{p_{b}}=\dfrac{5}{2}~cm$

• Apótema da pirâmide

Corresponde a altura de um triângulo equilátero, face lateral da pirâmide

$\sf a_p=\dfrac{L\sqrt{3}}{2}$

$\sf a_p=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}~cm^2$

• Altura

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf (a_p)^2=h^2+(a_{p_{b}})^2$

$\sf \left(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2=h^2+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2$

$\sf \dfrac{75}{4}=h^2+\dfrac{25}{4}$

$\sf h^2=\dfrac{75}{4}-\dfrac{25}{4}$

$\sf h^2=\dfrac{50}{4}$

$\sf h=\sqrt{\dfrac{50}{4}}$

$\sf h=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}~cm$

O volume é:

$\sf V=\dfrac{A_{b}\cdot h}{3}$

$\sf V=\dfrac{25\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{\frac{125\sqrt{2}}{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{125\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{3}$

$\sf \red{V=\dfrac{125\sqrt{2}}{6}~cm^3}$