Question

Calcule a derivada da função y=sen²x-cos²x.

Alternativa a)

y'=2senx-2cosx

Alternativa b)

1

Alternativa c)

y'=4senxcosx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{c)~y'=4\sin(x)\cos(x)}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Seja a função: $y=\sin^2(x)-\cos^2(x)$

Diferenciamos ambos os lados, em respeito à variável $x$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(\sin^2(x)-\cos^2(x))$

Aqui, podemos utilizar diversos métodos para chegarmos ao mesmo resultado.

Lembre-se que $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$, logo podemos reescrever a derivada como:

$y'=(-\cos(2x))'$

Lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma função composta é calculada de acordo com a regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a propriedade da constante

$y'=-(\cos(2x))'$

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função cosseno

$y'=-(2x)'\cdot (-\sin(2x))$

Calcule a derivada da potência

$y'=-2\cdot (-\sin(2x))$

Multiplique os valores

$y'=-2\sin(2x)$

Sabendo que $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$, temos

$y'=4\sin(x)\cos(x)$

Esta é a derivada desta função e é a resposta contida na letra c).