Matéria: Matemática
Autor: convertedor
Perguntado 9 anos atrás

O plano tangente a uma superfície corresponde ao conceito de reta tangente a uma curva. Geometricamente, o plano tangente a uma superfície num ponto é o plano que “melhor aproxima” a superfície nas vizinhanças do ponto. E para encontrarmos o plano tangente, o conceito básico é o cálculo de derivadas parciais.

A equação do plano tangente ao gráfico de um paraboloide elíptico de equação z- x² + 2y² , no ponto é P=(1,1,3) é

Respostas

respondido por: solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à superfície do paraboloide elíptico "ρ" pelo ponto "P" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 4y - z -3 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} \rho: z = x^{2} + 2y^{2}\\P = (1, 1, 3)\end{cases}$

Organizando a equação do paraboloide, temos:

$\Large\begin{cases} \rho : f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} - z\\P = (1, 1, 3)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície por um determinado ponto de tangência, temos que ter um ponto "P" pertencente ao plano bem como o vetor normal "n" ao plano aplicado ao referido ponto "P", ou seja, precisamos dos seguintes itens:

$\Large\begin{cases} P(X_{P}, Y_{P}, Z_{P})\\\vec{n} = (X_{n}, Y_{n}, Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$}$

OBSERVAÇÃO: A partir de agora, todas as vezes que me referir à função "f" estarei me referindo à função que originou o paraboloide.

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

Verificar se o ponto "P" pertence ao paraboloide "ρ". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação do paraboloide. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1^{2} + 2\cdot1^{2} - 3 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1 + 2 - 3 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$}$

Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "P" pertence ao paraboloide. Então, podemos continuar com os cálculos.

Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cdot2\cdot y^{2 - 1} = 4y\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1 \cdot z^{0} = -1\cdot 1 = -1\end{gathered}$}$

Montar o vetor gradiente.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (2x, 4y, -1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla f(x, y, z) = (2x, 4y, -1)\end{gathered}$}$

Montar o vetor normal "n".

Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(P)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{P},\,\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{P},\,\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{P}\Bigg)\end{gathered}$}$