Question

Achar a área entre as curvas y = x^3

e y = √x.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{5}{12}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos integrais duplas.

Seja $D$ a região compreendida entre as funções $f(x)$ e $g(x)$, em um intervalo fechado $[a,~b]$. Sua área é calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D\,dA$.

O elemento de área $dA$ é determinado de acordo com o Teorema de Fubini. Para integrais duplas, ele pode assumir as formas: $dA=dy\,dx$ ou $dA=dx\,dy$. Lembre-se que a última variável a ser integrada deve apresentar limites numéricos.

Neste caso, ao determinarmos os limites de integração (que podem ser dados pela questão) ou encontrados, esboçamos o gráfico das funções e analisamos seu comportamento neste intervalo.

Considerando que, em todo este intervalo,  $f(x)>g(x)$, a área da região $D$ será calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx$.

Sejam as curvas $y=x^3$ e $y=\sqrt{x}$. Igualamos as funções para encontrarmos os limites de integração:

$x^3=\sqrt{x}$

Eleve ambos os lados ao quadrado

$x^6=x$

Subtraia $x$ em ambos os lados da equação

$x^6-x=0$

Fatoramos a equação

$x(x^5-1)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, assim temos:

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x^5-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da segunda equação

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x^5=1$

Retire a raiz de índice $5$ em ambos os lados da segunda equação

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x=1$

Dessa forma, nossa região $D$ está compreendida no intervalo $0\leq x\leq1$.

Ao esboçarmos o gráfico dessas funções, observa-se que neste intervalo, $\sqrt{x}>x^3$. Dessa forma, para encontrar a área da região $D$, devemos calcular a seguinte integral:

$\displaystyle{\int_0^1\int_{x^3}^{\sqrt{x}}\,dy\,dx$.

Lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Sabendo que $\displaystyle{\int\,dy=\int1\,dy=\int y^0\,dy$, calcule a integral mais interna utilizando a regra da potência

$\displaystyle{\int_0^1y~\biggr|_{x^3}^{\sqrt{x}}\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}-x^3\,dx$

Calcule a integral, aplicando a regra da soma e sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

$\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{1^4}{4}-\left(\dfrac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^4}{4}\right)$

Calcule as potências

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}$

Some as frações

$\dfrac{5}{12}$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.

Veja a imagem em anexo: os gráficos das funções foram esboçados no plano cartesiano. Em azul, temos a curva $y=x^3$; em vermelho, a curva $y=\sqrt{x}$; em laranja, a região compreendia entre as curvas.