Question

(Ibmec-MG) Na figura, estão representadas as funções, de R em R, definidas por:f(x) = -4x + n e g(x) = ax + b

Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 5/2 e que f(1/2) = 0, então, o valor de x para que f(g(x)) = 0 é igual a

a) -3/2
b) 2/3
c) -5/2
d) 2
e) -2/5

OBS.: Por favor apresentar os cálculos após a resposta, será dado os devidos pontos

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

$\sf f(x)=-4x+n$

$\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=-4\cdot\dfrac{1}{2}+n$

$\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=\dfrac{-4}{2}+n$

$\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=-2+n$

Pelo enunciado, $\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=0$

$\sf -2+n=0$

$\sf n=2$

Assim, $\sf f(x)=-4x+2$

=> Para f(x) = 0:

$\sf -4x+2=0$

$\sf 4x=2$

$\sf x=\dfrac{2}{4}$

$\sf x=\dfrac{1}{2}$

Logo, o ponto C tem coordenadas $\sf C\Big(\dfrac{1}{2},0\Big)$

=> Para x = 0:

$\sf f(0)=-4\cdot0+2$

$\sf f(0)=0+2$

$\sf f(0)=2$

Assim, o ponto B tem coordenadas $\sf (0, 2)$

=> Triângulo ABC

Seja $\sf x_A$ a abscissa do ponto A.

A base do triângulo ABC é $\sf \dfrac{1}{2}-x_A$ e sua altura vale $\sf y_B=2$

Pelo enunciado, a área do triângulo ABC é $\sf \dfrac{5}{2}$

$\sf A=\dfrac{b\cdot h}{2}$

$\sf \dfrac{5}{2}=\dfrac{\Big(\frac{1}{2}-x_A\Big)\cdot2}{2}$

$\sf 2\cdot\Big(\dfrac{1}{2}-x_A\Big)\cdot2=5\cdot2$

$\sf 4\cdot\Big(\dfrac{1}{2}-x_A\Big)=10$

$\sf \dfrac{4}{2}-4\cdot x_A=10$

$\sf 2-4\cdot x_A=10$

$\sf 4\cdot x_A=2-10$

$\sf 4\cdot x_A=-8$

$\sf x_A=\dfrac{-8}{4}$

$\sf x_A=-2$

=> Função g(x)

O gráfico de g(x) passa pelo ponto $\sf (0,2)$, então $\sf g(0)=2$

$\sf g(x)=ax+b$

$\sf g(0)=a\cdot0+b$

$\sf g(0)=0+b$

$\sf g(0)=b$

Como $\sf g(0)=2$, então $\sf b=2$

Além disso, o gráfico de g(x) passa pelo ponto $\sf A(-2,0)$, logo $\sf g(-2)=0$

$\sf g(x)=ax+2$

$\sf g(-2)=a\cdot(-2)+2$

$\sf g(-2)=-2a+2$

$\sf -2a+2=0$

$\sf 2a=2$

$\sf a=\dfrac{2}{2}$

$\sf a=1$

Logo, $\sf g(x)=x+2$

=> f(g(x))

$\sf f(g(x))=f(x+2)$

$\sf f(g(x))=-4\cdot(x+2)+2$

$\sf f(g(x))=-4x-8+2$

$\sf f(g(x))=-4x-6$

Igualando a zero:

$\sf -4x-6=0$

$\sf 4x=-6$

$\sf x=\dfrac{-6}{4}$

$\sf \red{x=\dfrac{-3}{2}}$

Letra A