Question

A massa da lamina delimitada inferiormente pela parábola y = 2x^2, superiormente pela parábola y = 1 + x^2 e cuja a função densidade é dada por δ (x,y) = e^x é igual a:

Answer 1

A massa da lâmina vale 4/e.

Anexei uma figura no final desta resolução, com o gráfico das duas parábolas representando a lâmina, para facilitar o entendimento.

Olhando para o gráfico vemos que a região da lâmina está entre os dois gráficos, com x variando entre - 1 e 1. Isso pode ser verificado também por:

y = y

2x² = 1 + x²

2x² - x² = 1

x² = 1

x = -1 e x = 1

A massa da lâmina vai ser determinada por:

$M = \int\limits\int\limits {\delta(x,y)} \, dxdy = \int\limits^1_{-1} {e^x} \, dx \int\limits^{1 + x^2}_{2x^2} \, dy$

Resolvendo a primeira integral (para dy):

$M = \int\limits^1_{-1} (1 + x^2 - 2x^2){e^x}} \, dx = \int\limits^1_{-1} {e^x} \, dx - \int\limits^1_{-1} {x^2e^x} \, dx$

Por fim, resolvendo para dx:

$M = e^x|_{-1}^1 - [e^x(x^2 - 2x + 2)]|_{-1}^1 = e - e^{-1} - [e(1 - 2 + 2) - e^{-1}(1 + 2 + 2)]\\\\M = e - e^{-1} - e + 5e^{-1} = 4e^{-1} = 4/e$

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