Question

A integral indefinida para a função y = 10x4 + 8x3 - 12x2 – 2x – 1 é:​

Answer 1

Temos a seguinte integral indefinida:

$y = \int( 10x {}^{4} + 8x {}^{3} - 12x {}^{2} - 2x - 1)dx$

Primeiramente vamos aplicar a integral em cada uma das funções através da seguinte relação:

$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Aplicando a tal propriedade:

$y = \int 10x {}^{4} dx + \int 8x {}^{3} dx - \int 12x {}^{2} dx- \int 2xdx - \int 1dx$

Agora vamos remover todos os valores constantes de dentro da integral, pois como sabemos, constantes podem transitar livremente para dentro e fora da integral, isso pode ser observado pelo seguinte propriedade:

$\int k. f(x)dx =k \int f(x)dx$

Aplicando a relação:

$y = 10 \int x {}^{4} dx + 8 \int x {}^{3}dx - 12 \int x {}^{2} - 2 \int xdx + \int dx$

Para finalizar a integração, devemosembrar da regra da potência para integrais:

$\int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + C$

Aplicando a propriedade:

$y = 10. \frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} + 8. \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} - 12. \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - 2 \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ y = \frac{10x {}^{5} }{5} + \frac{8x {}^{4} }{4} - \frac{12x {}^{3} }{3} - \frac{2x {}^{2} }{2} - x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ y = 2x {}^{5} + 2 {x}^{4} - 4x {}^{3} - x {}^{2} - x +C}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado