Question

Se a<0 qual deve ser o valir de c e o sinal de b para que a equação ax2+bx+c=0 tenha uma raiz igual a 0 e uma raiz negativa

Answer 1

Em primeiro lugar, lembre-se que, com o auxílio das Relações de Girard para equações quadráticas (do segundo grau), a soma S e o produto P das raízes da equação ax² + bx + c = 0 (descrita no enunciado) são dados por:

$\large\begin{array}{l} \bullet\ \ \boxed{\sf S=-\dfrac{b}{a}}\\ \\ \bullet\ \ \boxed{\sf P=\dfrac{c}{a}}\end{array}$

Destarte, relembrando que a < 0 (negativo) e que 0 (zero) é uma raiz da equação, temos que P deve ser nulo, visto que o produto de qualquer valor por 0 é sempre 0. Baseado nisso, concluiremos o seguinte:

$\sf\qquad\quad\, P=\dfrac{c}{a}\\\\\\\ \implies\ \ \ 0=\dfrac{c}{a}\\\\\\ \implies\ \ \ a\cdot 0=\dfrac{c}{\diagup\!\!\!\!\!a}\cdot \diagup\!\!\!\!a\qquad (a<0)\\\\\\ \implies\ \ \ 0=c\\\\ \implies\ \ \ \!\boxed{\sf c=0}$

Como vimos, a equação ax² + bx + c = 0 admitirá raiz nula se, e só se, o termo independente c também for nulo. Posto isto, precisamos descobrir o sinal de b para que a outra raiz (que designarei por k), distinta de 0, seja negativa. Ora, se k < 0, então a soma S é obviamente um valor negativo, pois ela é obtida ao adicionarmos k ao elemento neutro da adição 0. Portanto, é válido dizer que:

${\sf\qquad\quad\ \, S=k+0}\\\\\\ {\implies\ \ \ \sf S=k<0}\\\\\\\ {\sf\implies\ \ \ S<0}\\\\\\{\sf \implies\ \ \ \ \!\!-\dfrac{b}{a}\,<\,0}\\\\\\\ {\sf \iff\ \ \ (-1)\cdot \dfrac{b}{a}\,<\,0}\\\\\\ {\sf \iff\ \ \ (-1)\cdot (-1)\cdot \dfrac{b}{a}\,>\,0\cdot (-1)}\\\\\\ {\sf \iff\ \ \ \dfrac{b}{a}\,>\,0}\\\\\\ {\sf \implies\ \ \ \diagup\!\!\!\!a\cdot \dfrac{b}{\!\diagup\!\!\!\!a}\:<\,0\cdot a\qquad (a<0)}\\\\\\ {\sf \implies\ \ \ \boxed{\sf b\,<\,0}}$

Resposta: O valor de c é 0 (zero) e b deve ser um número negativo.