Question

Seja f: R -> R uma função definida por f(x) = a . 4^bx , em que a e b são constantes reais. Sabendo-se que f(0) = 1600 e f(10)=400, calcula k, tal que f(k)=100

Answer 1

Vamos lá.
Pede-se o valor de "k", tal que f(k) = 100, tendo-se por base as seguintes informações:

f(x) = a*4ᵇˣ
e
f(0) = 1.600
e
f(10) = 400 .

Bem, vamos por parte, procurando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se f(0) = 1.600, então vamos na função dada [f(x) = a*4ᵇˣ] e, no lugar de "x", colocamos "0" e, no lugar de f(x), colocaremos 1.600. Assim, ficaremos com:

1.600 = a*4ᵇ*º -------- como b*0 = 0, ficaremos com:
1.600 = a*4º ------ como 4º= 1 (4 elevado a zero é igual a 1), teremos:
1.600 = a*1 -- ou apenas:
1.600 = a ---- ou, invertendo:
a = 1.600 <---- Este é o valor da constante real "a".

ii) Se f(10) = 400, então vamos na função dada e, no lugar de  "x" colocaremos "10" e, no lugar de f(x), colocaremos 400. Assim:

400 = a*4ᵇ*¹º ----- ou:
400 = a*4¹ºᵇ ----- mas já vimos que a = 1.600. Então substituindo, teremos;
400 = 1.600*4¹ºᵇ ---- dividindo ambos os membros por "400", ficaremos com:
1 = 4*4¹ºᵇ ---- note que o "4" que está sem expoente tem, na verdade, expoente igual a "1". É como se fosse:

1 = 4¹ * 4¹ºᵇ ------ veja: temos uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

1 = 4¹⁺¹ºᵇ ------ vamos apenas inverter, ficando:
4¹⁺¹ºᵇ = 1 ---- note que o "1" do 2º membro poderá ser substituído por 4º (4 elevado a zero). Assim:

4¹⁺¹ºᵇ = 4º ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Assim, ficaremos com:

1 + 10b = 0
10b = - 1
b = - 1/10 <--- Este é o valor da constante "b".

iii) Agora, que já sabemos que a constante "a" é igual a "1.600" e a constante "b" é igual a "-1/10", a nossa expressão original, que é f(x) = a*4ᵇˣ , ficará sendo, após substituirmos "a" por "1.600" e "b" por "-1/10":

f(x) = 1.600*4⁽⁻˟/¹º⁾

iv) Finalmente, vamos encontrar o valor de "k", sabendo-se que f(k) = 100.
Assim, substituindo-se "x" da função acima por "k" e substituindo-se f(x) por 100, teremos:

100 = 1.600*4⁽⁻ᴷ/¹º⁾ --- dividindo ambos os membros por "100", ficaremos com:
1 = 16*4⁽⁻ᴷ/¹º⁾ ---- note que 16 = 4². Assim, iremos ficar com:

1 = 4² * 4⁽⁻ᴷ/¹º⁾ ------ note que temos, novamente, uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Assim:

1 = 4²⁺⁽⁻ᴷ/¹º⁾ ----- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
1 = 4²⁻ᴷ/¹º ------- vamos apenas inverter, ficando:
4²⁻ᴷ/¹º = 1 ----- note que o "1" do 2º membro poderá ser substituído por "4º". Assim:


4²⁻ᴷ/¹º = 4º ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Assim:

2 - K/10 = 0
- K/10 = - 2 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:
K/10 = 2 ---- multiplicando em cruz, teremos:
K = 10*2
K = 20 <--- Esta é a resposta. Este é o valor pedido de "K".

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.