Question

1) Calcule a distância entre A e B nos seguintes casos:
a) A(0,-2) e B(0,4) b) A(-2,0) e B(-5,0) c) A(-1,3) e B(0,-3) d) A(-1,4) e B(-1,-3) e) A(12,0) e B(0,5) f) A(16,9) e B(1,1) g) A(3,-18) e B(-4,6) h) A(5,-1) e B(2,2) i) A(1,2) e B(5,5)

2) Calcule a distância do ponto A(-5,12) à origem do sistema cartesiano.

3) Determine x, sabendo que a distância entre os pontos A(x,1) e B(2,-3) é igual a 5.
ATENÇÃO: ao aplicar a fórmula, eleve ao quadrado ambos os membros da equação a fim de eliminar o radical que aparece. Após esse procedimento e efetuando os cálculos, você encontrará uma equação do segundo grau.

4) Determine o ponto médio do segmento em cada caso.
a) A(4,3) e B(8,11) b) A(-4,-7) e B(4,-4) c) A(6,1) e B(-6,1) d) A(2,-11) e B(1,-5) e) A(-5,2) e B(3,-2) f) A(-2,2) e B(4,-4)
5) Ache o valor de x de modo que M(2,3) seja o ponto médio entre A(x,5) e B(3,x).
̅̅̅̅
6) Seja o segmento , cujo ponto médio M tem coordenadas =3 E =4. Se =2 e =−2, encontre as
coordenadas de B.
7) M(2,-7) é ponto médio de um segmento . Se uma extremidade do segmento é o ponto A(6,-1), quais são as coordenadas
do ponto B?

8) Calcule a e b, sabendo que M(5,10) é ponto médio do segmento que tem extremidades A(a,2a) e B(2b,-b).

9) Verifique, em cada caso, se os três pontos dados pertencem a uma mesma reta.
a) A(3,9), B(4,11) e C(6,16)
b) A(3,-3), B(5,3) e C(2,-6)
c) A(1,-1), B(4,-12) e C(-1,5)
d) A(4,4), B(-6,-1) e C(-2,1)
e) A(-1,1), B(-7,-11) e C(6,15)

10) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. Determine o valor de y.

Answer 1

Bom dia (^ - ^)

Questão 01

Fórmula da Distância entre Pontos:

$d^2=(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2$

Letra A)

$d^2=(0-0)^2 + [4-(-2)]^2$

$d^2=0+6^2$

$d=6\: u.c$

Letra B)

$d^2=[-5-(-2)]^2+(0-0)^2$

$d^2=(-5+2)^2+0$

$d^2=(-3)^2$

$d=3\: u.c$

Letra C)

$d^2=[0-(-1)]^2+(-3-3)^2$

$d^2=1^2+(-6)^2$

$d=\sqrt{37}\: u.c$

Letra D)

$d^2=[-1-(-1)]^2+(-3-4)^2$

$d^2=0^2+(-7)^2$

$d=7\: u.c$

Letra E)

$d^2=(0-12)^2+(5-0)^2$

$d^2=144+25$

$d=13\: u.c$

Letra F)

$d^2=(16-1)^2+(9-1)^2$

$d^2=15^2+8^2$

$d=17\: u.c$

Letra G)

$d^2=(-4-3)^2+[6-(-18)]^2$

$d^2=(-7)^2+(24)^2$

$d=\sqrt{625}$

$d=25\: u.c$

Letra H)

$d^2=(5-2)^2+(-1-2)^2$

$d^2=3^2+(-3)^2$

$d=\sqrt{9 \times 2}$

$d=3 \sqrt{2}\: u.c$

Letra I)

$d^2=(5-1)+(5-2)^2$

$d^2=4^2+3^2$

$d^2=16+9$

$d=5\: u.c$

Questão 02

A origem está em (0,0)

Calculando:

$d^2=(-5-0)^2+(12-0)^2$

$d^2=25+144$

$d=\sqrt{169}$

$d=13\: u.c$

Questão 03

Aplicando a fórmula:

$5=\sqrt{(2-x)^2+(-3-1)^2$

$5^2=(2-x)^2+(-4)^2$

$25=4-4x+x^2+16$

$x^2-4x-5=0$

Discriminante:

$d=(-4)^2-4 \times 1 \times (-5)$

$d=36$

Raízes:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{4+\sqrt{36}}{2}=\frac{10}{2}=5$

$x_2=\frac{4-\sqrt{36}}{2}=-\frac{2}{2} =-1$

Solução:

$S=\{5,-1\}$

Questão 04

Fórmulas para as coordenadas de um Ponto Médio:

$Xm=\frac{Xa+Xb}{2}$

$Y_m=\frac{Ya+Yb}{2}$

Com essas formas podemos descobrir onde está o ponto médio.

$PM(Xm,Ym)$

Letra A)

$Xm=\frac{8+4}{2} =\frac{12}{2}=6$

$Ym=\frac{11+3}{2}=\frac{14}{2}=7$

Ponto Médio:

$PM(6,7)$

Letra B)

$Xm=\frac{4-4}{2} =0$

$Ym=\frac{-7-4}{2}=-\frac{11}{2}$

Ponto Médio:

$PM(0,-\frac{11}{2} )$

Letra C)

$Xm=\frac{6-6}{2} =0$

$Ym=\frac{1+1}{2}=1$

Ponto Médio:

$PM(0,1)$

Letra D)

$Xm=\frac{2+1}{2} =\frac{3}{2}$

$Ym=\frac{-11-5}{2}=-\frac{16}{2} =-8$

Ponto Médio:

$PM(\frac{3}{2} ,-8)$

Letra E)

$Xm=\frac{-5+3}{2}=-\frac{2}{2}=-1$

$Ym=\frac{2-2}{2}=0$

Ponto Médio:

$PM(-1,0)$

Letra F)

$Xm=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2} =1$

$Ym=\frac{2-4}{2}=-\frac{2}{2} =-1$

Ponto Médio:

$PM(1,-1)$

Questão 05

Pelo mesmo processo de antes:

$Xm=\frac{Xa+Xb}{2}$

$2=\frac{3+x}{2}$

$x=1$

Comprovando:

$Ym=\frac{Ya+Yb}{2}$

$3=\frac{5+x}{2}$

$x=1$

X deve valer 1.

Questão 06

Vou considerar que o enunciado está escrito assim:

"Seja o segmento , cujo ponto médio M tem coordenadas Xm=3 E Ym=4. Se Xa=2 e Ya=−2, encontre as  coordenadas de B".

Calculando:

$Xm=\frac{Xa+Xb}{2}$

$3=\frac{2+Xb}{2}$

$Xb=4$

$Ym=\frac{Ya+Yb}{2}$

$4=\frac{-2+Yb}{2}$

$Yb=10$

Logo, o Ponto B provavelmente está em (4,10).

$B(4,10)$

Questão 07

O ponto médio do segmento é M(2,-7)

A extremidade A tem coordenadas (6,-1)

Calculando:

$Xm=\frac{Xa+Xb}{2}$

$2=\frac{6+Xb}{2}$

$6+Xb=4$

$Xb=-2$

$Ym=\frac{Ya+Yb}{2}$

$-7=\frac{-1+Yb}{2}$

$-1+Yb=-14$

$Yb=-13$

Logo, o ponto B está em (-2,-13)

Questão 08

Calculando tudo:

$5=\frac{a+2b}{2}$

$a+2b=10$

$a=10-2b$

Também utilizaremos a fórmula do Ym:

$10=\frac{2a-b}{2}$

$2a-b=20$

Substituindo a primeira equação na segunda:

$2(10-2b)-b=20$

$20-4b-b=20$

$-5b=0$

$b=0$

Dessa forma:

$a=10-2b$

$a=10$

Provável Solução:

$a=10$

$b=0$

Questão 09

Para que estes pontos estejam em uma mesma reta, o determinante da matriz das coordenadas dos pontos deve ser nulo.

$det=determinante$

Letra A)

$det=33+54+64-[66+48+36]$

$det=151-150$

$det=1$

Como não é nulo, os três pontos não pertencem à mesma reta.

Letra B)

$det=9-30-6-[-15+6-18]$

$det=-27-[-27]$

$det=-27+27$

$det=0$

Como é nulo, os três pontos pertencem à uma mesma reta.

Letra C)

$det=-12+20+1-(-4+12+5)$

$det=9-13$

$det=-4$

Como não é nulo, os três pontos não pertencem a uma mesma reta.

Letra D)

$det=-4-6-8-[-24+2+4]$

$det=-18-[-18]$

$det=0$

Como é nulo, os três pontos pertencem a uma mesma reta.

Letra E)

$det=11-105+6-[-88]$

$det=-88+88$

$det=0$

Como é nulo, os três pontos pertencem a uma mesma reta.

Questão 10

$det=0+3y+8-[24+1+0]$

$det=3y+8-25$

$det=3y-17$

O determinante deve ser zero:

$3y-17=0$

$3y=17$

$y=\frac{17}{3}$

Logo:

$y=\frac{17}{3}$

Perdão se cometi algum erro.

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