Question

Determine a área limitada pelas curvas y=x2 e y=2, usando elemento de área dy e elemento de área dx. Esboce o gráfico da região.

Answer 1

Igualando as funções, obtemos os limites de integração:

$x^{2}=2\\ x= \pm \sqrt{2}$

Com isso, determinamos a região de integração:

$D: { -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}, \ x^{2} \leq y\leq 2$

Para obter a área entre as funções, calculamos a integral dupla:

$A = 2\int\limits^{\sqrt{2}}_0 \int\limits^2 _{x^{2}} dydx$

Ao invés de integrarmos x no intervalo acima, exploramos a simetria da função e calculamos somente metade do intervalo em x, compensando multiplicando a integral por 2; já que isso simplifica ao substituir os limites de integração.

Calculando a integral:

$A = 2\int\limits^{\sqrt{2}}_0 (2-x^{2}) dx\\A = 2 [2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3 }{3} ]\\ A = 4\sqrt{2} - \frac{2(\sqrt{2})^3 }{3} ]$