Question

Calcule as áreas das superfícies abaixo

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{\dfrac{\pi}{24}(65\sqrt{65}-1)}$

Explicação passo-a-passo:

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A área de uma superfície S com equação z = f(x,y) é dada por:

$\mathsf{A=\displaystyle \iint_D\sqrt{1+\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg)^2}\,dA}$

1. Faça a parametrização da superfície:

$\mathsf{x=x}\\\\\mathsf{y=y}\\\\\mathsf{z=2x^2+2y^2}$

2. Calcule as derivadas de z:

$\mathsf{\dfrac{\partial z}{\partial x}=4x}\\\\\mathsf{\dfrac{\partial z}{\partial y}=4y}$

3. Substitua na definição:

$\mathsf{A=\displaystyle \iint_D\sqrt{1+\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg)^2}\,dA} \,\mathsf{=\displaystyle \iint_D \sqrt{1+(4x)^2+(4y)^2}\,dA}\\\\\\=\mathsf{\displaystyle \iint_D\sqrt{1+16(x^2+y^2)}\,dA}$

4. Agora utilize coordenadas polares para resolver a integral:

$\mathsf{x=r\,cos\,\theta}\\\\\mathsf{y=r\, sin\,\theta}$

5. Lembre-se que o Jacobiano da transformação é:

$\mathsf{J(r,\theta)}=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{cos\,\theta}&\mathsf{sin\,\theta}\\-\mathsf{r\,sin\,\theta}&\mathsf{r\,cos\,\theta}\end{array}\right| =\mathsf{r}$

6. Os limites de integração, nesse caso, são:

$\mathsf{0 \leq r \leq 2}\\\\\mathsf{ 0 \leq \theta \leq 2\pi}$

7. Portanto, obtemos:

$\mathsf{A=\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^2\sqrt{1+16r^2}\,r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2r\,\sqrt{1+16r^2}\,dr}$

8. Faça a substituição:

$\mathsf{u=1+16r^2\quad\rightarrow \quad du=32\,r\,dr\quad \rightarrow \quad\dfrac{du}{32}=r\,dr}$

9. Calcule a integral em r:

$\mathsf{\displaystyle \int_0^2r\,\sqrt{1+16r^2}\,dr=\dfrac{1}{32}\int_1^{65}\sqrt{u}\,du=\dfrac{1}{32}\cdot\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\bigg|_1^{65}=\dfrac{1}{48}(65^{\frac{3}{2}}-1)}}$

10. Calcule a integral em θ e determine a área:

$\mathsf{A=\dfrac{1}{48}(65^{\frac{3}{2}}-1)\displaystyle \int_0^{2\pi}d\theta=\dfrac{2\pi}{48}(65^{\frac{3}{2}}-1)}\\\\\\\therefore \boxed{\mathsf{A=\dfrac{\pi}{24}(65\sqrt{65}-1)}}$

Conclusão: a área da superfície é π/24 . (65√65 - 1)

Obs.: essa tarefa foi feita em colaboração com o colega da equipe Brainly

SubGui (https://brainly.com.br/app/profile/4700741) o qual agradeço imensamente a ajuda.

Bons estudos! :D

Equipe Brainly