Question

Obtenha o centro c e o raio r da circunferência cuja equação geral é dada por x²+y²-8x+10y+2=0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{As~coordenadas~do~centro~s\~ao~(4,\,-5)~e~seu~raio~mede~\sqrt{39}~u.~c}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a circunferência de equação geral dada por: $x^2+y^2-8x+10y+2=0$.

Para encontrarmos as coordenadas do seu centro e a medida de seu raio, podemos utilizar as fórmula cedidas pelo enunciado.

Porém, utilizaremos o método de completar quadrados. Essencialmente, se trata do mesmo processo, mas devem-se comparar, ao final, as equações reduzidas.

Primeiro, analisamos os coeficientes dos termos de grau $1$: $-8x$ e $10y$.

Neste caso, dividimos seus coeficientes por $2$ e somamos os quadrados destes números à equação:

$\dfrac{-8}{2}=-4$ e $\dfrac{10}{2}=5$

De acordo com o enunciado, encontrarmos os números opostos às coordenadas do centro desta circunferência.

Somando os quadrados destes números à equação, temos

$x^2+y^2-8x+10y+2+\bold{(-4)^2+5^2=(-4)^2+5^2}$

Calcule as potências

$x^2+y^2-8x+10y+2+16+25=16+25$

Reorganize os termos, de forma que

$x^2-8x+16+y^2+10y+25+2=16+25$

Fatore os trinômios quadrados perfeitos e some os valores

$(x-4)^2+(y+5)^2+2=41$

Subtraia $2$ em ambos os lados da equação

$(x-4)^2+(y+5)^2=39$

Comparando esta equação à equação reduzida de uma circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e raio $r$: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, temos

$\begin{cases}(x-4)^2+(y+5)^2=39\\(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\\\end{cases}\Rightarrow~x_c=4,~y_c=-5,~r^2=39$

Retirando a raiz em ambos os lados da equação em $r$, teremos

$r=\sqrt{39}$ (aqui, assumimos somente a solução positiva)

Dessa forma, conclui-se que:

As coordenadas do centro desta circunferência são $(4,\,-5)$ e seu raio mede $\sqrt{39}~u.~c$.