Question

Sejam α= (1,−1),(0,2) e β= (1,0,−1),(0,1,2),(1,2,0).
Se S(x, y ) = (2y , x −y , x), ache [S]αβ

Answer 1

Resposta:

Vide explicação.

Explicação passo-a-passo:

Não estou acostumado com a notação que você usou mas creio que você queira o subespaço gerado pela familia α e β, enfim vamos primeira fazer a transformação linear:

$T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3\\ (x,\,y)\longmapsto (2y,\, x-y,\, x)$

Podemos notar que:

$\alpha = \{(1, -1),(0,2)\} \text{ \'e base de }\mathbb{R}^2\\\beta = \{(1,0,-2), (0,1,2),(1,2,0)\} \text{ \'e base de }\mathbb{R}^3$

Fazendo a transformação em alpha temos:

$(1,\,-1) \longrightarrow (-2,\, 2,\, 1)\\(0,\,2) \longrightarrow (4,\, -2,\, 0)\\\\\alpha' =\{(-2,\, 2,\, 1),(4,\, -2,\, 0)\} \text{ N\~ao \'e base de }\mathbb{R}^3$

O subsespaço gerado por alpha + beta é:

$S = [(-2,\, 2,\, 1),(4,\, -2,\, 0),(1,0,-2), (0,1,2),(1,2,0)]$

Obviamente temos vetores L.I

Agora temos que escalonar a seguinte matriz:

$\left(\begin{matrix}-2 & 2 & 1 & a \\4 & -2 & 0 & b \\1 & 0 & -2 & c \\0 & 1 & 2 & d \\1 & 2 & 0 & e\end{matrix}\right)$

Temos MUITAS passagens aqui, o suficiente para não conseguir colocar no Brainly, essas passagens podem ser verificadas no site matrixcalc.

No fim obtemos:

$x = \frac{2a+2b+c}{5} \\\\y = \frac{8a+3b+4c}{10} \\\\z = \frac{a+b-2c}{5}$

Podemos escrever como:

$x =\frac{2}{5} \left(a+b+ \frac{c}{2} \right) \\\\y = \frac{1}{10} (8a+3b+4c) \\\\z = \frac{1}{5}(a+b-2c)$

Então o subsespaço gerado tem como base:

$S = \{(1,\, 1,\, \frac{1}{2}), (8,\,3,\,4),(1,\, 1,\, -2)\}$

Caso não seja isso que você queira me avise, espero ter ajudado.