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Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a) 5ˣ⁻¹ - 5ˣ⁺³ = - 624
5ˣ . 5⁻¹ - 5ˣ . 5³ = - 624
5ˣ . (1/5) - 5ˣ . 125 = - 624
Fazendo 5ˣ = y
(1/5)y - 125y = - 624
y - 625y = - 624
- 624y = - 624
y = 1.
E como:
5ˣ = y
5ˣ = 1
5ˣ = 5⁰
x = 0.
b) 9ˣ - 10.3ˣ + 9 = 0
(3)²ˣ - 10.3ˣ + 9 = 0
Fazendo 3ˣ = y
y² - 10y + 9 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (10)² - 4.(1).(9)
Δ = 100 - 36
Δ = 64.
y = (– b ± √Δ)/2a
y = (- (-10) ± √64)/2.(1)
y = (10 ± 8)/2
y₁ = (10 + 8)/2
y₁ = 18/2
y₁ = 9.
y₂ = (10 - 8)/2
y₂ = 2/2
y₂ = 1.
E como:
3ˣ = y₁
3ˣ = 9
3ˣ = 3²
x = 2.
3ˣ = y₂
3ˣ = 1
3ˣ = 3⁰
x = 0.
c) 2ˣ⁺³ + 2ˣ⁻¹ = 17
2ˣ .2³ + 2ˣ . 2⁻¹ = 17
2ˣ .8 + 2ˣ . (1/2) = 17
Fazendo 2ˣ = y
8y + (1/2)y = 17
16y + y = 34
17y = 34
y = 2.
E como:
2ˣ = y
2ˣ = 2
x = 1.
d) 4ˣ - 2ˣ = 12
2²ˣ - 2ˣ = 12
Fazendo 2ˣ = y
y² - y = 12
y² - y - 12 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.(1).(-12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49.
y = (– b ± √Δ)/2a
y = (- (-1) ± √49)/2.(1)
y = (1 ± 7)/2
y₁ = (1 + 7)/2
y₁ = 8/2
y₁ = 4.
y₂ = (1 - 7)/2
y₂ = - 6/2
y₂ = - 3.
E como:
2ˣ = y₁
2ˣ = 4
2ˣ = 2²
x = 2.
2ˣ = y₂
2ˣ = - 3. Não tem solução, apenas o nº 2 positivo.
e) 3ˣ⁺¹ . 3ˣ - 3ˣ⁻¹ = 45
3ˣ.3 . 3ˣ - 3ˣ .3⁻¹ = 45
3²ˣ.3 - 3ˣ .(1/3) = 45
Fazendo 3ˣ = y
3y² - (1/3)y = 45
9y² - y - 135 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.(9).(-135)
Δ = 1 + 4860
Δ = 4861.
y = (– b ± √Δ)/2a
y = (- (-1) ± √4861)/2.(9)
y = (1 ± √4861)/18
y₁ = (1 + 69,72)/18
y₁ = 70,72/18
y₁ = 3,9.
y₂ = (1 - 69,72)/18
y₂ = - 68,72/18
y₂ = - 3,82.
E como:
3ˣ = y₁
3ˣ = 3,9
log 3ˣ = log 3,9
x = log 3,9/log 3
x = 0,591/0,477
x = 1,24.
f) (2⁴ˣ⁻²)/(2³ˣ⁺⁵) = 1/2
2.(2⁴ˣ⁻²) = 2³ˣ⁺⁵
2.(2⁴ˣ . 2⁻²) = 2³ˣ . 2⁵
Fazendo 2ˣ = y
2.(y⁴ . 2⁻²) = y³ . 2⁵
2.y⁴ . (1/2²) = y³ . 32
2.y . (1/4) = 32
y . (1/2) = 32
y = 64.
E como:
2ˣ = y
2ˣ = 64
2ˣ = 2⁶
x = 6.