Question

Questão na imagem abaixo. Por favor, me ajudem.
Alternativas
1/2
2/3
3/2
4/3
5/2

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$|k| = \begin{cases} k, \: se \: k \geqslant 0 \\ - k, \: se \: k < 0\end{cases} \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \: \: |2x - 1| = \begin{cases} - (2x - 1), \: se \: x < \frac{1}{2} \\ 2x - 1 , \: se \: x \geqslant \frac{1}{2} \end{cases} \\ \\ E = \int \limits_ {0}^{2} |2x - 1| dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para resolver essa integral, devemos usar a definição que a própria questão nos fornece, que diz a seguinte informação:

• Para valores de "x" menores que 1/2 devemos usar a função -(2x-1);
• Para valores de "x" maiores ou igual a 1/2 devemos usar a função 2x - 1.

Partindo dessas informações, podemos escrever essa integral da seguinte maneira:

$E = \int \limits_ { \frac{1}{2} }^{2}(2x - 1)dx - \: \int \limits_ { 0 }^{ \frac{1}{2} }(2x - 1)dx$

Agora é só integrar uma vez, já que ambas funções são iguais, depois é substituir os intervalos de integração que são correspondentes a cada uma das integrais.

$\int(2x - 1)dx = \int 2xdx - \int 1dx = x {}^{2} - x + c$

Reorganizando a expressão de E:

$E =x {}^{2} - x \bigg |_ { \frac{1}{2} }^{2} - x {}^{2} + x \bigg | _ {0}^{2}$

Para substituir esses intervalos, você deve lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int \limits_ {a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a) \to\bigg | _ {a}^{b}$

Aplicando o tal teorema citado:

$x {}^{2} - x\bigg | _ { \frac{1}{2} }^{2} = \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ = \: 2 {}^{2} - 2 - \left( ( \frac{1}{2} ) {}^{2} - \frac{1}{2} \right) = \\ = 4 - 2 - \frac{1}{4 } + \frac{1}{2} = \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \boxed{ \boxed{\frac{9}{4 }}} \: \\ \\ - x {}^{2} + x\bigg | _ {0}^{ \frac{1}{2} } = \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ = - \left(\frac{1}{2} \right) {}^{2} + \frac{1}{2} - 0 - 0 = \: \: \: \: \: \\ \\ = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \boxed{ \boxed{\frac{1}{4} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esses valores na expressão de E:

$E = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} \\ \\ E = \frac{9 + 1}{4} \\ \\ E = \frac{10}{4} \: \: \: \: \: \\ \\ \large\boxed{ \boxed{ \boxed{E = \frac{5}{2} }}}$

Espero ter ajudado