Question

Uma esfera possui $12m$ de diâmetro. Determine o valor da aérea de um fuso esférico cujo o ângulo é de 120 graus.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{A_{fuso}=10\pi~cm^2}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a área deste fuso esférico, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Sabe-se que a área da superfície de uma esfera é dada por: $4\pi r^2$, em que $r$ é a medida de seu raio.

Um fuso esférico é dado pela rotação de uma semicircunferência em torno do eixo $y$, em um ângulo $\alpha$. Assim, podemos calcular a proporção:

$\dfrac{360\°}{\alpha}=\dfrac{4\pi r^2}{\mathsf{A_{fuso}}}$

Isolamos $\mathsf{A_{fuso}}$

$\mathsf{A_{fuso}}=\dfrac{4\pi r^2\alpha}{360\º}$

Simplificamos a fração

$\mathsf{A_{fuso}}=\dfrac{\pi r^2\alpha}{90\º}$

Então, seja uma esfera que possui $12~\mathsf{cm}$ de diâmetro. Devemos determinar  a área de um fuso esférico cujo ângulo é de $120\°$.

Sabendo que o diâmetro mede o dobro do raio, temos:

$2r=12$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$r=6$

Substituindo $r=6$ e $\alpha=120\°$, temos

$\mathsf{A_{fuso}}=\dfrac{\pi\cdot6^2\cdot 120\º}{360\°}}$

Calcule a potência

$\mathsf{A_{fuso}}=\dfrac{\pi\cdot36\cdot 120\º}{360\°}}$

Multiplique os valores e simplifique a fração

$\mathsf{A_{fuso}}=10\pi~\mathsf{cm^2}$

Esta é a área deste fuso esférico.