Question

Uma base da imagem da transformação linear T(x,y,z)=(x+z,x+2y,x+z) e?

Answer 1

$T(x,y,z)=(x+z,~x+2y,~x+z)$

A imagem de uma transformação linear é o conjunto dos vetores formados por T

Veja que podemos reescrever T:

$T(x,y,z)=(x,x,x)+(0,2y,0)+(z,0,z)\\\\T(x,y,z)=x(1,1,1)+y(0,2,0)+z(1,0,1)$

Então, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores (1,1,1), (0,2,0) e (1,0,1)

Para achar uma base para a imagem, temos que escalonar a seguinte matriz

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]~~l_{3}\leftarrow l_{3}-l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&0\\0&-1&0\end{array}\right]~~l_{3}\leftarrow l_{3}+(\frac{1}{2})l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&0\\0&0&0\end{array}\right]~~Descartando~linhas~nulas:\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&0\end{array}\right]$

Esses dois vetores já formam uma base (são LI, pois um não é múltiplo do outro)

Já podíamos ter encontrado uma base logo de cara ao achar <(1,1,1), (0,2,0), (1,0,1)> como conjunto gerador de T, era só descartar um vetor LD (ou seja, perceber que o terceiro vetor, por exemplo, era formado por (1,1,1) - (1/2)(0,2,0))

Então, uma base de T é

$\boxed{\boxed{\beta=\{(1,1,1),~(0,2,0)\}}}$