Question

Derivada de funções polinomiais e exponenciais ​

Answer 1

Você fazer a distribuição e derivar como uma soma:

$f(x)=2\sqrt{x}(x-4)\\\\f(x)=2x^{\frac{1}{2}}(x-4)\\\\f(x)=2x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}-8x^{\frac{1}{2}}\\\\f(x)=2x^{\frac{3}{2}}-8x^{\frac{1}{2}}\\\\\\f'(x)=\frac{3}{2}.2x^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}}-\frac{1}{2}.8x^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}\\\\f'(x)=3x^{\frac{1}{2}}-4x^{-\frac{1}{2}}\\\\f'(x)=3\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}\\\\f'(x)=\frac{3x-4}{\sqrt{x}}$

Ou utilizar a regra do produto:

$f(x)=2\sqrt{x}(x-4)\\\\\\f'(x)=(2\sqrt{x})'(x-4)+(2\sqrt{x})(x-4)'\\\\f'(x)=(\frac{1}{2}2x^{\frac{-1}{2}})(x-4)+(2\sqrt{x})\\\\f'(x)=(\frac{1}{\sqrt{x}})(x-4)+2\sqrt{x}\\\\f'(x)=\frac{x-4}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\\\\f'(x)=\frac{(x-4)+2x}{\sqrt{x}}\\\\f'(x)=\frac{3x-4}{\sqrt{x}}$

Depois de obtida a função derivada é só aplicar:

$f'(4)=\frac{3.4-4}{\sqrt{4}}\\\\f'(4)=\frac{12-4}{2}\\\\f'(4)=4$