Question

03) Se x^2+xy-y^2=1, encontre dy/dx(2,3)

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos encontrar o valor da derivada da equação no ponto desejado.

Seja a equação $x^2+xy-y^2=1$, devemos calcular o valor de $\dfrac{dy}{dx}(2,~3)$.

Para isso, calculamos a derivada em ambos os lados da equação

$\dfrac{d}{dx}(x^2+xy-y^2)=\dfrac{d}{dx}(1)$

Reescrevendo a notação $\dfrac{d}{dx}(f(x))=f'(x)$, teremos:

$(x^2+xy-y^2)'=(1)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de um produto entre duas ou mais funções é dada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada da função $y=y(x)$ é denominada implícita, calculada com o auxílio da regra da cadeia: $\dfrac{dy}{dx}=y'$.
• A derivada de uma constante é igual a zero. Vale ressaltar que a derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.

Aplique a regra da soma e da constante:

$(x^2)'+(xy)'+(-y^2)'=0$

Aplique a regra do produto

$(x^2)'+(x)'\cdot y+x\cdot y'-(y^2)'=0$

Aplique a regra da potência e da cadeia:

$2x+1\cdot y+x\cdot y'-2y\cdot y'=0$

Multiplique os valores

$2x+y+xy'-2yy'=0$

Fatore a expressão

$2x+y+(x-2y)y'=0$

Subtraia $2x+y$ em ambos os lados da equação

$(x-2y)y'=-2x-y$

Divida ambos os lados da equação por $x-2y$

$y'=\dfrac{-2x-y}{x-2y}$

Então, substituímos as coordenadas do ponto em que se deseja calcular o valor numérico desta derivada:

$y'=\dfrac{-2\cdot2-3}{2-2\cdot3}$

Multiplique e some os valores

$y'=\dfrac{-4-3}{2-6}\\\\\\ y'=\dfrac{-7}{-4}$

Simplifique a fração por um fator $(-1)$

$y'=\dfrac{7}{4}$

Este é o valor que buscávamos.