Question

calcule:
a)x e os termos da PG (x-2, 2x-1, 5x+2)
b) o valor de x de tal modo que os numeros 5+x, 29+x, 101+x, formem uma PG
c)o 1° termo de uma PG em que a3=2 e a5=2/5
d)a razao e o primeiro termo de uma PG na qual a1+a3=-4 e que a4+a6=32

Answer 1

a)

$P.G~(x-2,~2x-1,~5x+2)$

$a_{1}=x-2\\a_{2}=2x-1\\a_{3}=5x+2$

$q=a_{2}/a_{1}=a_{3}/a_{2}\\a_{2}/a_{1}=a_{3}/a_{2}\\a_{2}*a_{2}=a_{3}*a_{1}\\(a_{2})^{2}=a_{1}*a_{3}\\(2x-1)^{2}=(x-2)*(5x+2)\\(2x)^{2}-2*2x*1+1^{2}=5x^{2}+2x-10x-4\\4x^{2}-4x+1=5x^{2}-8x-4\\0=5x^{2}-4x^{2}-8x+4x-4-1\\x^{2}-4x-5=0$

$S=-b/a=-(-4)/1=4\\P=c/a=-5/1=-5$

Raízes: 2 números que quando somados dão 4 e quando multiplicados dão -5:

$x'=-1\\x''=5$

Se x = -1:

$a_{1}=x-2=-1-2=-3\\a_{2}=2x-1=2(-1)-1=-2-1=-3\\a_{3}=5x+2=5(-1)+2=-5+2=-3$

Se x = 5:

$a_{1}=x-2=5-2=3\\a_{2}=2x-1=2*5-1=10-1=9\\a_{3}=5x+2=5*5+2=25+2=27$

b)

$a_{1}=5+x\\a_{2}=29+x\\a_{3}=101+x$

$(a_{2})^{2}=a_{1}*a_{3}\\(29+x)^{2}=(5+x)*(101+x)\\29^{2}+2*29*x+x^{2}=505+5x+101x+x^{2}\\841+58x+x^{2}=505+106x+x^{2}\\841+58x=505+106x\\841-505=106x-58x\\336=48x\\x=336/48\\x=7$

c)

$a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\\a_{3}=a_{1}*q^{3-1}\\a_{3}=a_{1}*q^{2}\\\\a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\\a_{5}=a_{1}*q^{5-1}\\a_{5}=a_{1}*q^{4}$

$a_{3}=2\\a_{1}*q^{2}=2\\\\a_{5}=2/5\\a_{1}*q^{4}=2/5$

Sistema:

$\left \{ {{~~a_{1}*q^{4}=2/5}\atop {a_{1}*q^{2}=2}} \right.$

Dividindo uma pela outra:

$a_{1}*q^{4}/(a_{1}*q^{2})=(2/5)/2\\q^{2}=1/5$

$a_{1}*q^{2}=2\\a_{1}*(1/5)=2\\a_{1}=2*5\\\\\boxed{\boxed{a_{1}=10}}$

d)

$a_{1}+a_{3}=-4\\a_{1}+(a_{1}*q^{2})=-4$

Colocando a₁ em evidência:

$a_{1}*(1+q^{2})=-4$

$a_{4}+a_{6}=32\\(a_{1}*q^{3})+(a_{1}+q^{5})=32$

Colocando a₁.q³ em evidência:

$a_{1}*q^{3}*(1+q^{2})=32$

Sistema:

$\left \{ {{~~a_{1}*q^{3}*(1+q^{2})=32} \atop {a_{1}*(1+q^{2})=-4}} \right.$

Dividindo uma pela outra:

$a_{1}*q^{3}*(1+q^{2})/[a_{1}*(1+q^{2})]=32/(-4)\\q^{3}=-8\\q^{3}=(-2)^{3}\\q=-2$

$a_{1}*(1+q^{2})=-4\\a_{1}*(1+[-2]^{2})=-4\\a_{1}*(1+4)=-4\\a_{1}*5=-4\\a_{1}=-4/5$