Question

a matriz associada a transformação linear t((x,y))=(X+2y);-x+3y é
I) (3 -2) II) (3 -2) III) ( -3 2) IV) ( 1 2 )
( 0 -1) ( 5 -7 ( 2 -7) (-1 3)

a) I a um esta correta
b) II esta correta
c) III esta correta
d) IV) esta correta

Answer 1

$T(x,\,y)=\left(x+2y,\,-x+3y \right )\\ \\ T(x,\,y)=\left(x,\,-x \right )+\left(2y,\,3y \right )\\ \\ T(x,\,y)=x\cdot\left(1,\,-1 \right )+y\cdot \left(2,\,3 \right )$


Podemos reescrever a expressão acima na forma matricial:

$T\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ]= \left[ \begin{array}{cc} 1&2\\ -1&3 \end{array} \right ]\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ]$


Logo, a matriz de transformação é

$\left[ \begin{array}{cc} 1&2\\ -1&3 \end{array} \right ]$


Resposta: alternativa $\text{d) IV) est\'{a} correta.}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a matriz associada à transformação linear é:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \begin{bmatrix}T \end{bmatrix}_{B_{2}}^{B_{2}} = \begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 3 \end{bmatrix}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:D\:\:\:}}\end{gathered} }$          

Seja a lei da transformação linear:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(x, y) = (x + 2y, -x + 3y)\end{gathered}$

Para resolver esta questão devemos:

• Montar a transformação completa.

       Como não nos foi especificado o domínio e nem o contradomínio utilizarei, ambos, como sendo R², isto é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T:R^{2}\to R^{2}, \:\:T(x, y) = (x + 2y, -x + 3y)\end{gathered}$

• Especificar a base do Domínio e Contradomínio.

        Como não foi especificado quais seriam essas bases, utilizaremos a base canônica. Então, temos:

        $\Large\begin{cases}\tt Base\:do\:Dominio = B_{2} = \{(1, 0),\,(0, 1)\}\\\tt Base\:do\:Contradominio = B_{2} = \{(1, 0),\,(0, 1)\}\end{cases}$

• Obter  a transformação dos elementos da base do Domínio.

        Para isso, devemos aplicar a lei da transformação linear à cada um dos elementos da base do Domínio, ou seja:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(1, 0) = (1 + 2\cdot0, \,-1 + 3\cdot0) = (1, -1)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T(0, 1) = (0 + 2\cdot1,\,- 0 + 3\cdot1) = (2, 3)\end{gathered}$

• Montar a matriz associada à transformação linear:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \begin{bmatrix}T \end{bmatrix}_{B_{2}}^{B_{2}} = \begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 3 \end{bmatrix}\end{gathered} }$

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