Question

Como resover essa integral dupla???

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vou escolher integrar dy primeiro pois já me livro do seno:

$\int\limits^{1 }_{-1}\int\limits^{\pi/2 }_0 {(expressao)} \, dydx$

Resolvendo a integral de dentro:

$\int\limits^{\pi/2 }_0 {xsen(y)-ye^{x} } \, dy =[ -xcos(y)-\frac{y^{2}e^{x}}{2} ]\left \{ {{y=\pi/2 } \atop {y=0}} \right.$

$[ -xcos(\frac{\pi }{2} )-\frac{(\frac{\pi }{2}) ^{2}e^{x}}{2} ]-[ -xcos(0)-\frac{0^{2}e^{x}}{2} ]$

$[-\frac{\pi ^{2}e^{x}}{8} ]-[ -x] = -\frac{\pi ^{2}e^{x}}{8} +x$

Resolvendo a integral de fora:

$\int\limits^1_{-1} -\frac{\pi ^{2}e^{x}}{8} +x} \, dx =\int\limits^1_{-1} x dx -\int\limits^1_{-1} \frac{\pi ^{2}e^{x}}{8} } \, dx$

Mas a integra de e^x dx é e^x (obrigado Deus!):

$0 -\frac{\pi ^{2}}{8} \int\limits^1_{-1}e^{x}} \, dx$

$-\frac{\pi ^{2}}{8} (e^{1}-e^{-1})$

Efetuando a distributiva de (-1):

$\frac{\pi ^{2}}{8} (-e^{1}+e^{-1})$

$\frac{\pi ^{2}}{8} (-e+\frac{1}{e} )$