Question

Calcule o determinante da matriz A = [1 -1 -2; 0 3 -1; 2 1 -7] usando o teorema de Laplace

Answer 1

Temos as seguinte matriz:

$\begin{bmatrix} 1& - 1& - 2 \\ 0&3& - 1 \\ 2&1& - 7\end{bmatrix}$

Resolvendo pelo teorema de Laplace devemos escolher uma fila (linha ou coluna) que quisermos, após isso devemos esquecê-la, para facilitar a nossa vida vamos escolher a coluna que possui o elemento "0", ou seja, a coluna 1:

$\begin{bmatrix} \red1& - 1& - 2 \\ \red0&3& - 1 \\ \red2&1& - 7\end{bmatrix}$

Agora devemos multiplicar cada elemento dessa coluna pelo Cofator relativo a sua posição, ou seja, o elemento 1 está na posição a11, o elemento 0 está na posição a21 e o elemento 2 está na posição a31, cada um deles serão multiplicados pelo seu cofator, então:

$1.C_{{11}} + 0.C_{ {21}} + 2.C_{{31}} \\ 1.C_{{11}} + 2.C_{{31}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para calcular o Cofator é necessário de outro elemento que é chamado de menor complementar, representado pela letra maiúscula D, este elemento está embutido dentro do cálculo do Cofator que possui a seguinte relação:

$C_{{ij}} = ( - 1) {}^{i + j} .D_{ij}$

O menor complementar é calculado através do determinante da matriz gerada a partir da eliminação da linha e coluna de onde se encontra, fazendo isso teremos que:

• Para $D_{11}$ :

$\begin{bmatrix} \red1& \red{- 1}& \red{ - 2 }\\ \red0&3& - 1 \\ \red2&1& - 7\end{bmatrix}$

Calculando a matriz (2x2) que restou:

$\begin{bmatrix}3& - 1 \\ 1& - 7\end{bmatrix} \to 3.( - 7) - 1.( - 1) = - 20$

• Para $D_{21}$ :

$\begin{bmatrix} \red1& - 1& - 2 \\ \red0& \red3& \red{ - 1} \\ \red2&1& - 7\end{bmatrix}$

Calculando a matriz (2x2):

$\begin{bmatrix} - 1& - 2\\ 1& - 7\end{bmatrix} \to ( - 1).( - 7) - 1.( - 2) = 9$

• Para $D_{31}$ :

$\begin{bmatrix} \red1& - 1& - 2 \\ \red0&3& - 1 \\ \red2& \red1& \red{ - 7}\end{bmatrix}$

Calculando a matriz (2x2):

$\begin{bmatrix} - 1& - 2\\ 3& - 1\end{bmatrix} \to ( - 1).( - 1) - 3.( - 2) = 7$

Agora é só substituir o valor de cada um dos menores completar na fórmula dos cofatores:

$C_{11} = ( - 1) {}^{1 + 1} .D_{11} \: \\ C_{11} = ( - 1) {}^{2} .( - 20) \\ C_{11} = 1.( - 20) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ C_{11} = - 20 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ C_{2 1} = ( - 1) {}^{2 + 1} .D_{21} \\ C_{21} = ( - 1) {}^{3} .9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ C_{21} = ( - 1).9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ C_{21} = - 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ C_{31} = ( - 1) {}^{3 + 1} .D_{31} \\ C_{31} = ( - 1) {}^{4} .7 \: \: \: \: \: \: \: \: \\ C_{31} = 1.7 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ C_{31} = 7 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esses valores na soma dos cofatores que estipulamos no começo:

$1.C_{{11}} + 2.C_{{31}} \: \: \: \: \: \: \: \\ 1. ( - 20) + 2.( 7) \: \: \\ - 20 + 14 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ - 6\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Resposta Det = -6