O domínio da função y = f(x) = √x²- 6x + 8 / x - 1 é :
R: 1 < x ≤ 2 ou x ≥ 4
Preciso de alguma explicação, não consigo entender como chegar nesse resultado.
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
y = f(x) = √x²- 6x + 8 / x - 1
Domínio da função são os valores que podem ser dados a x. Ou seja temos funções que x pode ser qualquer valor real, mas em muitas x pode ter restrição de valores, como é o caso da função do exercício.
Vamos por partes:
Numerador.
O numerador está sob uma raiz quadrada e não existe solução se o número dentro da raiz for negativo. Assim:
√(x²- 6x + 8) o valor dentro dos parênteses, ou seja o radicando não pode ser negativo, ou seja tem que ser maior ou igual a zero.
Resolvendo:
x²- 6x + 8 ≥ 0
a = 1, b = -6, c = 8
Δ = (-6)² - 4 . 1 . 8 = 36 - 32 = 4
√Δ = √4 = 2
x' = (6+2)/2 = 4
x" = (6-2)/2 = 2
Agora que achamos as raízes, vamos resolver a inequação
Lembre que a função de 2º grau é uma parábola, no caso como a é positivo com concavidade voltada para cima.
Vamos fazer o estudo do sinal da função
mesmo sinal de a contrário do sinal de a mesmo sinal de a
--------------------------- x --------------------------------- x ---------------------------
positiva (+) 2 negativa (-) 4 positiva (+)
Assim vemos que quando x < 2 o radicando será positivo e quando x > 4 o radicando também é positivo. É proibido ao x ser valores entre 2 e 4, pois aí o radicando seria negativo, o que não queremos pois lembramos que não há raiz quadrada de números negativos em R.
Mas o radicando pode ser zero, então concluo com o estudo do numerador
x ≤ 2 ou x ≥ 4 (vamos continuar para fechar o conjunto no final.)
Denominador.
O denominador de uma fração nunca pode ser zero.
Então x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
Resposta final: D = {x ∈ R / x ≤ 2, x ≥ 4 e x ≠ 1}
Discutindo a resposta apresentada pelo exercício por você.
A mesma está incompleta, visto que por ela x não poderia ser valores menores que 1.
f(x) = √x²- 6x + 8 / x - 1
Fazendo x = 0
f(0) = √(0² - 6 . 0 + 8) / (0 - 1) = √8/-1 = -√8 ora isto é número Real.
Fazendo x = -2
f(-2) = √((-2)² - 6 .(-2) + 8) / (-2-1) = √24/-3 = -1,632993161855452... que é uma dízima não periódica ou seja um número irracional negativo, que é também real.
Estou aberto a estudos. Coloque suas considerações nas observações.