Question

Questão de Limite da CESUMAR

Answer 1

$\bullet\;\;\alpha=\underset{x \to -5}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x^{2}+11x+30}{x+5}\\ \\ \\ \alpha=\underset{x \to -5}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x^{2}+5x+6x+30}{x+5}\\ \\ \\ \alpha=\underset{x \to -5}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x\,(x+5)+6\,(x+5)}{x+5}\\ \\ \\ \alpha=\underset{x \to -5}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{(x+5)\,(x+6)}{x+5}$


Simplificando o fator comum $(x+5)$ no numerador e no denominador, temos

$\alpha=\underset{x \to -5}{\mathrm{\ell im}}\,(x+6)\\ \\ \alpha=-5+6\\ \\ \alpha=1$


$\bullet\;\;\beta=\underset{x \to 16}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x-16}{\sqrt{x}-4}$


Fazendo a seguinte substituição

$u=\sqrt{x},\;\;(u \geq 0)\\ \\ u^{2}=x\\ \\ \\ x \to 16 \Rightarrow\;\;u \to \sqrt{16}=4$


Então, temos

$\beta=\underset{u \to 4}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{u^{2}-16}{u-4}\\ \\ \\ \beta=\underset{u \to 4}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{(u-4)\,(u+4)}{u-4}$


Simplificando o fator comum $(u-4)$ no numerador e no denominador, temos

$\beta=\underset{u \to 4}{\mathrm{\ell im}}\,(u+4)\\ \\ \beta=4+4\\ \\ \beta=8$


$\bullet\;\;\underset{x \to 8}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x+\alpha}{x-\beta}$

$=\underset{x \to 8}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x+1}{x-8}$


Aplicando o valor da tendência de $x$ ao limite acima, temos uma indeterminação do tipo $L/0,\,(L \neq 0).$ Logo, devemos analisar os limites laterais:

$(i)\;\;\underset{x \to 8^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x+1}{x-8}=-\infty\\ \\ \\ (ii)\;\;\underset{x \to 8^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x+1}{x-8}=+\infty$


Como os limites laterais não são os mesmos, então o limite

$\underset{x \to 8}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x+\alpha}{x-\beta}$

não existe.