Question

Determine a meia-vida de uma substância radioativa considerando que
uma amostra dessa substância perde 1/3 de sua massa original em 12 dias

Answer 1

Considere que a taxa de decrescimento da substância radioativa é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, então:

$\frac{dN}{dt} = k.N(t)$

Resolvendo:

$\frac{dN}{dt} = k.N(t) \\ \\ \frac{dN}{N(t)} = k.dt \\ \\ \int\frac{dN}{N(t)} =\int k.dt \\ \\ ln(N(t))=kt+C \\ \\ N(t) = e^{kt+C} \\ \\ N(t) = e^{kt}.e^{C} \\ \\N(t) = e^{kt}.C \\ \\N(t) = Ce^{kt}$

Para t = 0, N(0) = C, logo C = $N_{0}$, assim:

$N(t) = N_{0}e^{kt}$

Segundo o problema, quando t = 12, N(12) = $N_{0}-1/3N_{0} = 2/3N_{0}$. Assim:

$\frac{2}{3}N_{0} = N_{0}e^{12k} \\ \\ \frac{2N_{0}}{3N_{0}}=e^{12k} \\ \\ \frac{2}{3}=e^{12k} \\ \\ ln(\frac{2}{3}) = ln(e^{12k} ) \\ \\ ln(\frac{2}{3}) = 12k.ln(e) \\ \\ ln(\frac{2}{3}) = 12k \\ \\ k = \frac{ln(\frac{2}{3})}{12} \\ \\ k = -0,033788$

Então:

$N(t) = N_{0}e^{-0,033788t}$

A meia vida dessa substância é o tempo em que a quantidade a quantidade inicial se reduz para sua metade, ou seja, o tempo para que N(t) = 1/2($N_{0}$).

$\frac{1}{2}N_{0} = N_{0}e^{-0,033788t} \\ \\ \frac{1N_{0}}{2N_{0}} = e^{-0,033788t} \\ \\ \frac{1}{2} = e^{-0,033788t} \\ \\ ln(\frac{1}{2}) = ln(e^{-0,033788t}) \\ \\ ln(\frac{1}{2}) = -0,033788t.ln(e) \\ \\ ln(\frac{1}{2}) = -0,033788t \\ \\ t = \frac{ln(\frac{1}{2})}{-0,033788t} \\ \\ t = 20,51$

Logo a meia vida da substância é 20,51 dias.