Question

O rádio 226 tem meia vida de 1620 anos. Encontre o intervalo de tempo no
qual uma amostra dessa substância se reduz a 3/4 de sua massa original

Answer 1

$N(t) = N_{0}e^{kt}$

Para t = 1620, N(t) = 1/2$N_{0}$:

$\frac{1}{2}N_{0} = N_{0}e^{1620k} \\ \\ \frac{1N_{0}}{2N_{0}} = e^{1620k} \\ \\ \frac{1}{2} = e^{1620k} \\ \\ ln(\frac{1}{2}) = ln(e^{1620k}) \\ \\ ln(\frac{1}{2}) = 1620k.ln(e) \\ \\ ln(\frac{1}{2}) = 1620k \\ \\ k = \frac{ln(\frac{1}{2})}{1620} \\ \\ k = -0,0004278$

Assim:

$N(t) = N_{0}e^{-0,0004278t}$

Segundo o problema, para t = ? N(t) = 3/4$N_{0}$

$\frac{3}{4}N_{0} = N_{0}e^{-0,0004278t} \\ \\ \frac{3N_{0}}{4N_{0}} = e^{-0,0004278t} \\ \\ \frac{3}{4} = e^{-0,0004278t} \\ \\ ln(\frac{3}{4}) = ln(e^{-0,0004278t}) \\ \\ ln(\frac{3}{4}) = -0,0004278t.ln(e) \\ \\ ln(\frac{3}{4}) = -0,0004278t \\ \\ t = \frac{ln(\frac{3}{4})}{-0,0004278} \\ \\ t = 672,46$

Logo, o tempo será de 672,46 anos