Question

Determine a derivada de segunda ordem da função definida por f(x)=x⁵-3x²+3

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular a derivada de segunda ordem da seguinte função:

$f(x)=x^5-3x^2+3$

Lembre-se que a derivada de segunda ordem de uma função pode ser calculada ao derivarmos a primeira derivada da função, isto é: $f''(x)=(f'(x))'$.

Então, calculemos a derivada de primeira ordem da função:

$f'(x)=(x^5-3x^2+3)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x^5)'+(-3x^2)'+(3)'$

Aplique a regra do produto

$f'(x)=(x^5)'-3\cdot(x^2)'+(3)'$

Aplique a regra da potência e da constante

$f'(x)=5\cdot x^4-3\cdot 2x+0$

Multiplique os valores

$f'(x)=5x^4-6x$

Agora, calculamos a derivada de segunda ordem, aplicando a propriedade discutida anteriormente

$f''(x)=(5x^4-6x)'$

Aplique a regra da soma

$f''(x)=(5x^4)'-(6x)'$

Aplique a regra do produto

$f''(x)=5\cdot(x^4)'-6\cdot(x)'$

Aplique a regra da potência

$f''(x)=5\cdot4\cdot x^3-6\cdot1$

Multiplique os valores

$f''(x)=20x^3-6$

Esta é a derivada de segunda ordem desta função.