Determine x e y, sabendo que M(-3, -2) é ponto médio do
segmento com extremidades A(6,-y) e B(x, -8).
Respostas
Resposta:
x = - 12 e y = - 4
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Determine x e y, sabendo que M ( - 3 , - 2 ) é ponto médio do
segmento com extremidades A ( 6 , - y ) e B ( x , - 8 ).
Resolução:
Para o cálculo de ponto médio (M) de segmento de reta de extremos P e Q de coordenadas
P ( x1 ; y1 ) Q ( x2 ; y2 )
usa-se a fórmula seguinte :
M[PQ] = [ ( x1 + x2 ) / 2 ; ( y1 + y2 ) /2 ]
Neste caso :
( - 3 ; - 2 ) = [ ( 6 + x ) / 2 ; ( - y - 8 ) /2 ]
Repare agora no que está aqui:
tem do lado esquerdo as coordenadas do M[AB] . Estão separadas por ( ; ).
tem no lado direito também duas expressões separadas por ( ; )
Para que se verifique a igualdade terá que se verificar o seguinte:
- 3 = ( 6 + x ) / 2 e - 2 = ( - y - 8 ) /2
Mas isto é um sistema de duas equações a duas incógnitas. Vamos resolvê-lo.
{ - 3 = ( 6 + x ) / 2
{ - 2 = ( - y - 8 ) /2
Colocar os primeiros membros sob a forma de fração.
Depois fazer com que todos os termos da equação tenham o mesmo denominador.
{ - 3 / 1 = ( 6 + x ) / 2
{ - 2 / 1 = ( - y - 8 ) /2
Multiplicar por 2 cada um dos numeradores e denominadores das frações nos primeiros membros.
Isso vai fazer com que todos os termos tenham o mesmo denominador.
⇔
{ ( - 3 * 2) / ( 1 * 2 ) = ( 6 + x ) / 2
{ ( - 2 )* 2 / ( 1 * 2 ) = ( - y - 8 ) /2
⇔
{ - 6 / 2 = ( 6 + x ) / 2
{ - 4 / 2 = ( - y - 8 ) /2
Agora que todos os termos têm o mesmo denominador, podemos "retirar" os denominadores.
{ - 6 = 6 + x
{ - 4 = - y - 8
Termos com "x" ou "y" passar para o primeiro membro
Termos sem "x" ou "y" passar para o segundo membro
Quando trocam de membro mudam de sinal
{ - x = 6 + 6
{ y = - 8 + 4
Na primeira equação multiplicar por " - 1 " ambos os membros
Em ambas reduzir os termos semelhantes.
{ x = - 12
{ y = - 4
⇔
{ x = - 12
{ y = - 4
Os pontos têm agora definidas as suas coordenadas:
A ( 6 ; - ( - 4 ) )
= A ( 6 ; 4 )
B ( - 12 ; - 8 )
Verificação:
M[ AB] = [ ( 6 + ( - 12 ))/2 ; (4 + ( - 8 ) /2 ]
M[ AB] = [ ( - 6 /2 ; - 4/2 ]
M[ AB] = ( - 3 ; - 2 ) verificado e correto ( de acordo com enunciado)
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir (⇔) equivalente a
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.
Resposta:
x = - 12
y = - 4
Explicação passo-a-passo:
.
TEMOS: (6 + x) / 2 = - 3 e (- y - 8) / 2 = - 2
. 6 + x = 2 . (- 3) - y - 8 = 2 . (- 2)
. 6 + x = - 6 - y - 8 = - 4
. x = - 6 - 6 - y = - 4 + 8
. x = - 12 - y = 4
. y = - 4
.
(Espero ter colaborado)