Question

mostre que se por um ponto na base de um triangulo isósceles traçanmos retas paralelas aos lados congruentes, então se forma um paralelogramo cujo perímetro é igual a soma dos comprimentos dos lados congruentes.

Answer 1

Seja um triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC
Sobre a base BC, vamos marcar um ponto qualquer P e por ele traçar uma paralela a AB, que determinará sobre AC o ponto Q; pelo mesmo ponto P, traçar uma paralela ao lado AC, que determinará sobre AB o ponto R.

Assim, PQAR será um paralelogramo, pois:
PQ // AR e PR // AQ e, como temos paralelas compreendidas entre paralelas, os segmentos
PQ = AR e PR = AQ 

Na mesma figura, PRB é também triângulo isósceles e PR = RB [1]
Ainda nesta figura, PQC é outro triângulo isósceles, e PQ = QC [2]

Ainda observando a figura, no triângulo ABC temos:
AB = AR + RB [3]
AC = AQ + QC [4]

Como temos que provar que
AR + PR + AQ + PQ = AB + AC [5],

vamos substituir em [5] os valores encontrados para PR e PQ em [1] e [2]:
AR + RB + AQ + QC = AB + BC [6]

Agora, vamos substituir em [6] os valores encontrados em [3] e [4]:
AB + AC = AB + BC
conforme queríamos demonstrar.