Question

7. Quantos são os anagramas possiveis com as letras da palavra: MATEMATICA?
a) 151200
b) 132400
c) 224861
d) 342167
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Answer 1

Resposta:

a ) 151 200 anagramas

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

  Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?

Resposta:

Fazer anagramas de palavras é como procurar perceber como se ocupam certo número de posições com as letras ( ou outros símbolos; ou objetos ou pessoas, etc. ) que existam.

Usemos o método de fazer os traços suficientes para que todas as letras

possam ocupar um lugar.

MATEMATICA   ( esqueça o acento)

Tem letras ocupando 10 posições.

Se não houvessem letras repetidas , para a posição à esquerda tínhamos

10 possibilidades;

para a outra à direita tinha as 9 que me restaram depois de usar uma letra.

E assim por diante até terminado as posições todas

------       ------      -------    -------    -------    ------   -----   ------   ------   ------

 10           9           8          7           6         5        4      3       2         1    

Ou seja haveriam → 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 possibilidades.

Este número é em termos matemáticos traduzido em 10 ! ( dez fatorial)

10 ! = 3 628 800

Mas há letras repetidas.

O "A" repete-se 3 vezes

o "M" repete-se 2 vezes

O "T" repete-se 2 vezes

Por Isso ao valor sem repetições temos que fazer o inverso da multiplicação, que é a divisão.

Vamos dividir por 3 !  por causa do A, que se repete 3 vezes

Vamos dividir por 2 !  por causa do M  , que se repete 2 vezes

Vamos dividir por 2 !  por causa do T  , que se repete 2 vezes

Número de anagramas possíveis é dado pela expressão matemática

10 ! / ( 3 ! * 2 ! *2 !)

Podemos desenvolver o 10 ! para baixar o fatorial

10 ! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3!  

Paramos no 3! que se pode simplificar com o 3! no denominador.

2 ! = 2 * 1 = 2

Assim 10 ! / ( 3 ! * 2 ! *2 !)  fica  

( 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 ! ) / ( 3 ! * 2 * 2 )

= ( 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 ! ) / ( 3 ! * 4 )

Como temos só multiplicações no numerador e no denominador da fração,

podemos fazer vários cancelamentos.

Cancelam-se o 3 ! e também o valor 4 do numerador  com os valores 3 ! e 4 do denominador.

=  10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5  

= 151 200 anagramas para esta palavra.

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir          ( ! ) fatorial

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.