Question

Calcule a medida x do lado BC do triângulo abaixo,
observando que o ângulo BÂC é agudo.

Answer 1

Temos um triângulo com a medida de 2 de seus lados e 1 dos seus ângulos internos, assim podemos aplicar a Lei dos Cossenos.

$Lei~dos~Cossenos:~~\boxed{a^2~=~b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot cos\left(\hat{A}\right)}\\\\\\Onde:~~~\left\{\begin{array}{ccl}a,~b,~c&:&Lados~do~triangulo\\A&:&Angulo~oposto~ao~lado~a\end{array}\right$

Substituindo os dados na Lei dos Cossenos, temos:

$2^2~=~\left(2\sqrt{3}\right)^2+x^2-2\cdot2\sqrt{3}\cdot x\cdot cos(30^\circ)\\\\\\4~=~2^2\cdot\sqrt{3}^{\,2}+x^2-2\cdot2\sqrt{3}\cdot x\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\4~=~4\cdot3+x^2-\dfrac{2\cdot2\sqrt{3}^{\,2}\cdot x}{2}\\\\\\4~=~12+x^2-2\cdot 3\cdot x\\\\\\\boxed{x^2-6x+8~=~0}$

Chegamos em uma equação de 2º grau.

Aplicando Bhaskara (vou omitir estes cálculos), chegamos em duas raízes: 4 e 2.

No entanto, será que a medida do lado "x" deste triângulo pode ter duas medidas possíveis? A resposta é não.

Utilizando a Lei dos Senos, vamos mostrar que a medida deste lado é 2 dm.

$Lei~dos~Senos:~~\boxed{\dfrac{a}{sen\left(\hat{A}\right)}~=~\dfrac{b}{sen\left(\hat{B}\right)}}\\\\\\Onde:~~~\left\{\begin{array}{ccl}a,~b&:&Lados~do~triangulo\\A,~B&:&Angulos~opostos~aos~lados~a~e~b\end{array}\right$

$Vamos~testar~o~valor~~x=4:\\\\\\\dfrac{2}{sen\left(30^\circ\right)}~=~\dfrac{4}{sen\left(\hat{X}\right)}\\\\\\\dfrac{2}{\frac{1}{2}}~=~\dfrac{4}{sen\left(\hat{X}\right)}\\\\\\4~=~\dfrac{4}{sen\left(\hat{X}\right)}\\\\\\sen\left(\hat{X}\right)~=~\dfrac{4}{4}\\\\\\sen\left(\hat{X}\right)~=~1~~~~Qual~angulo~do~1^o~quadrante~tem~seno~igual~a~1?\\\\\\\boxed{\hat{X}~=~90^\circ}$

Mas, o enunciado deixa claro que o angulo BAC, que chamamos acima de X, é agudo, ou seja, menor que 90°, portanto concluímos que x=4 não pode ser a medida do lado do triângulo.

$Vamos~testar~o~valor~~x=2:\\\\\\\dfrac{2}{sen\left(30^\circ\right)}~=~\dfrac{2}{sen\left(\hat{X}\right)}\\\\\\\dfrac{2}{\frac{1}{2}}~=~\dfrac{2}{sen\left(\hat{X}\right)}\\\\\\4~=~\dfrac{2}{sen\left(\hat{X}\right)}\\\\\\sen\left(\hat{X}\right)~=~\dfrac{2}{4}\\\\\\sen\left(\hat{X}\right)~=~\dfrac{1}{2}~~~~Qual~angulo~do~1^o~quadrante~tem~seno~igual~a~\frac{1}{2}?\\\\\\\boxed{\hat{X}~=~30^\circ}$

Agora sim, 30° é um ângulo agudo, respeitando as informações do enunciado. Assim, concluímos que x=2 dm é, de fato, a medida do lado "x" do triângulo.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$