Question

Calcule a integral definida abaixo:

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int\limits_{1}^{2}(x {}^{2} + 2x)dx$

Para iniciar a integração vamos esquecer os limites 1 e 2, deixando apenas a integral e a função, isso facilita o entendimento.

$\sf \int (x {}^{2} + 2x)dx$

Pelas propriedades de integrais, sabemos que a integral da soma é igual a soma das integrais:

$\boxed{ \sf \int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }$

Aplicando a propriedade citada acima:

$\sf\int x {}^{2} dx + \int 2xdx$

Outra coisa que podemos fazer é remover termos constantes de dentro da integral, pois como sabemos também as constantes transitam livremente para dentro e fora da integral:

$\boxed{ \sf \int k.f(x)dx = k \int f(x)dx}$

Aplicando essa outra propriedade:

$\sf \int x {}^{2} dx + 2 \int xdx$

Para finalizar a integração, vamos aplicar a regra da potência para integrais:

$\boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + k }$

Aplicando mais uma propriedade:

$\sf \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + 2. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \Longrightarrow \boxed{\sf \frac{x {}^{3} }{3} + x {}^{2} }$

Não vamos colocar a constante, pois como se trata de uma integral definida, no final a constante desapareceria. Vamos repor os limites de integração em uma forma de barra:

$\sf \frac{x {}^{3} }{3} + x {}^{2} \bigg |_{1}^{2}$

Pronto, agora é só aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$\boxed{ \sf\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\Longrightarrow \bigg | _{a}^{b} }$

Aplicando o tal teorema:

$\sf \frac{2 {}^{3} }{3} + 2 {}^{2} - \left( \frac{1 {}^{3} }{3} + 1 {}^{2} \right) \Longrightarrow \sf \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{3} - 1 \\ \\ \sf \frac{8}{3} - \frac{1}{3} + 3 \Longrightarrow \frac{7}{3} + 3 \Longrightarrow \frac{7 + 9}{3} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf\frac{16}{3} }}}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a integral definida da função compreendida no referido intervalo é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int_{1}^{2} (x^{2} + 2x)\,dx = \frac{16}{3}\:u\cdot a\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Seja a função:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = x^{2} + 2x\end{gathered}$

Se o intervalo de integração "I" é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \left[1, 2\right]\end{gathered}$

Calculando a integral definida da função "f(x)" no intervalo "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int_{1}^{2} (x^{2} + 2x)\,dx = \Bigg(\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + 2\cdot\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + c\Bigg)\Bigg|_{1}^{2}\end{gathered} }$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \Bigg(\frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{2}x^{2} + c\Bigg)\Bigg|_{1}^{2}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \Bigg(\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + c\Bigg)\Bigg|_{1}^{2}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \Bigg(\frac{1}{3}\cdot2^{3} + 2^{2} + c\Bigg) - \Bigg(\frac{1}{3}\cdot1^{3} + 1^{2} + c\Bigg)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{8}{3} + 4 + c - \frac{1}{3} - 1 - c\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{3} - 1\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{8 + 12 - 1 - 3}{3}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{16}{3}\end{gathered}$

Portanto, a integral definida da referida função no intervalo considerado é:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_{1}^{2} (x^{2} + 2x)\,dx = \frac{16}{3}\:u\cdot a\end{gathered}$

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