Question

Em dezembro do ano passado Pedro e Joana combinaram com seu pai como é vão receber suas mesadas este ano. Pedro vai receber R$300 todo mês. Joana preferiu receber R$20 em janeiro e a cada mês subsequente R$80 a mais que no mês anterior. Em que mês Pedro Giovanna queiram ir seguindo exatamente o mesmo valor no acumulado do ano?

Answer 1

A soma do total recebido por pedro é:

S = n*500

com n= número de meses.

A foma de pagamento de Joana é uma P.A. de razão 80. Podemos escrever a soma de termos de uma P.A. como:

S = [2a1 + (n-1)*r]*(n/2)

Quero encontrar em que mês o acumulado é igual, então igualamos os dois S:


500*n = [2a1 + (n-1)*r]*(n/2)

Multiplicando a equação por 2:

1000*n = [2a1 + (n-1)*r]*n

cortando n:

1000 = 2a1 + (n-1)*r
1000 - 2a1 = (n-1)*r
(1000 - 2a1) / (r) = n-1
(1000 - 2a1) / (r) + 1 = n

a1 é o primeiro pagamento de Joana = 20
r = é a razão do aumento de pagamento de Joana = 80

(1000 - 2*20) / (80) + 1 = n
(1000 - 40) / (80) + 1 = n
960/80 + 1 = n
12 + 1 = n
13 = n

Treze meses depois do combinado, ou seja, o soma será igual em janeiro do ano que vem. (Já que eles começaram a receber o pagamento em janeiro desse ano).