• Matéria: Matemática
  • Autor: euestudante021
  • Perguntado 5 anos atrás

Me ajudemmmm

Exercício Determine a equação geral do plano π que passa pelo ponto (3,1, √5 ) e é paralelo ao plano de equação 2x - 3y + z - 6 = 0

Respostas

respondido por: solkarped
7

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do referido plano é:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x - 3y + z - (3 + \sqrt{5}) = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}

Sejam os dados:

             \Large\begin{cases} P(3, 1, \sqrt{5})\\\pi': 2x - 3y + z - 6 = 0\end{cases}

Se o plano que desejamos determinar é paralelo ao plano π', então o vetor normal ao plano que queremos encontrar é igual ao vetor normal do plano π'. Então, para calcular sua equação, devemos:

  • Recuperar o vetor normal do plano π'.

        Sabemos que toda equação geral do plano no espaço tridimensional pode ser escrita da seguinte forma:

                   \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Ax + By + Cz + D = 0\end{gathered}$}

        Desta forma seu vetor normal é:

                             \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n} = (A, B, C)\end{gathered}$}

        Portanto, o vetor normal de π' é:

                              \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n} = (2, -3, 1)\end{gathered}$}

  • Determinar o vetor normal do plano π''.

                      \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:\pi' \parallel \pi'' \Longrightarrow \vec{n} = \vec{m}\end{gathered}$}

        Então:

                              \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{m} = (2, -3, 1)\end{gathered}$}    

  • Montar a equação do plano π''. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

        \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}    \large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$}

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto P quanto as componentes do vetor m, na equação "I", temos:

            \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2\cdot x + (-3)\cdot y + 1\cdot z = 2\cdot3 + (-3)\cdot1 + 1\cdot\sqrt{5}\end{gathered}$}

                                 \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2x - 3y + z = 6 - 3 + \sqrt{5}\end{gathered}$}

                                 \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2x - 3y + z = 3 + \sqrt{5}\end{gathered}$}

       \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2x - 3y + z - (3 + \sqrt{5}) = 0\end{gathered}$}

✅ Portanto, a equação do plano é:

  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \pi: 2x - 3y + z - (3 + \sqrt{5}) = 0\end{gathered}$}

\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}

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\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}

Anexos:
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