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Exercício Determine a equação geral do plano π que passa pelo ponto (3,1, √5 ) e é paralelo ao plano de equação 2x - 3y + z - 6 = 0

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do referido plano é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x - 3y + z - (3 + \sqrt{5}) = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases} P(3, 1, \sqrt{5})\\\pi': 2x - 3y + z - 6 = 0\end{cases}$

Se o plano que desejamos determinar é paralelo ao plano π', então o vetor normal ao plano que queremos encontrar é igual ao vetor normal do plano π'. Então, para calcular sua equação, devemos:

• Recuperar o vetor normal do plano π'.

        Sabemos que toda equação geral do plano no espaço tridimensional pode ser escrita da seguinte forma:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} Ax + By + Cz + D = 0\end{gathered}$

        Desta forma seu vetor normal é:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (A, B, C)\end{gathered}$

        Portanto, o vetor normal de π' é:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (2, -3, 1)\end{gathered}$

• Determinar o vetor normal do plano π''.

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:\pi' \parallel \pi'' \Longrightarrow \vec{n} = \vec{m}\end{gathered}$

        Então:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{m} = (2, -3, 1)\end{gathered}$    

• Montar a equação do plano π''. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$    $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto P quanto as componentes do vetor m, na equação "I", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + (-3)\cdot y + 1\cdot z = 2\cdot3 + (-3)\cdot1 + 1\cdot\sqrt{5}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y + z = 6 - 3 + \sqrt{5}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y + z = 3 + \sqrt{5}\end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y + z - (3 + \sqrt{5}) = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x - 3y + z - (3 + \sqrt{5}) = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$