Question

Determine a distância focal das seguintes elipses:
a) x² + 3y² = 3
b) 2x² + y² = 2

Answer 1

Vamos resolver na ordem;

$\sf a) \: x {}^{2} + 3y {}^{2} = 3$

Geralmente a equação de uma elipse possui a sua forma dada pela relação reduzida da mesma:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \: \: \: ou \: \: \: \frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{a {}^{2} }$

Portanto para deixar nesse modelo, vamos passar o número 3 dividindo todos os termos, inclusive ele mesmo:

$\sf \frac{x {}^{2} }{3} + \frac{3y {}^{2} }{3} = \frac{3}{3} \longrightarrow \boxed{ \sf\frac{x {}^{2} }{3} + y {}^{2} = 1 }$

Como o maior valor encontra-se abaixo de x², quer dizer então que a elipse possui o seu eixo maior sobre o eixo "x", então ela se encaixa naquele primeiro formato de equação, logo:

$\sf \frac{x {}^{2} }{3} + y {}^{2} = 1 \\ \sf a {}^{2} = 3 \longrightarrow a = \sqrt{3 } \\ \sf b {}^{2} = 1\longrightarrow b = 1 \: \: \:$

Para encontrar o foco (c) devemos manter uma relação pitagórica com o valor de "a" e "b":

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf ( \sqrt{3} ) {}^{2} = 1 {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 3 - 1 = c {}^{2} \\ \sf \sf c = \sqrt{2}$

A distância focal é igual a duas vezes o foco:

$\sf d = 2c \longrightarrow d = 2. \sqrt{2} \longrightarrow \boxed{\sf d = 2 \sqrt{2} }$

A outra função é do mesmo jeito, então farei com maior rapidez:

$\sf b)2x {}^{2} + y {}^{2} = 2 \\ \\ \sf \frac{2x {}^{2} }{2} + y {}^{2} = \frac{2}{2} \\ \sf x {}^{2} + \frac{y {}^{2} }{2} = 1$

Descobrindo as incógnitas:

$\sf b {}^{2} = 1 \longrightarrow b = 1 \\ \sf a{}^{2} = 2\longrightarrow a = \sqrt{2} \\ \\ \sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf ( \sqrt{2}) {}^{2} = (1) {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 2 = 1 + c {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 1 \\ \sf c = 1$

a distância focal é igual ao dobro do foco:

$\sf d = 2c\longrightarrow d = 2.1 \longrightarrow \boxed{ \sf d = 2}$

Espero ter ajudado