Question

Cálculo Diferencial e Integral II.

Encontre o comprimento de arco de curva.

x^2/3 + y^2/3 = 2^2/3

Obs. Resposta da questão = 12

Answer 1

Esto es un astroide. Conviene utilizar su forma paramétrica
                     $x=2\cos^3 t\wedge y=2\sin^3 t$
donde $t\in[0,2\pi)$ entonces
$\displaystyle L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\dfrac{d}{dt}2\cos^3t\right)^2+\left(\dfrac{d}{dt}2\sin^3t\right)^2}dt\\ \\ L=2\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(-3\cos^2 t\sin t)^2+(3\sin^2t\cos t)^2}dt\\ \\ L=6\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\cos^4t\sin^2t+\sin^4t\cos^2t}\\ \\ L=6\int_{0}^{2\pi}|\sin t\cos t|\,dt \\ \\ L=3\int_{0}^{2\pi}|\sin 2t|\,dt$

Puesto que el periodo de sin 2t es $\dfrac{\pi}{4}$ entonces
$\displaystyle L=3\cdot 8\int_{0}^{\pi/4}\sin 2t\,dt\\ \\ L=24 \left.\left(-\dfrac{1}{2}\cos 2t\right)\right|_{0}^{\pi/4}\\ \\ \\ \boxed{L=12}$