Question

1- Sendo cos x= -0,8 , X[ pi, 3pi/2 ], calcule sen x e tg x :

2 - Dado sen x = -12/13 , X [3pi/2, 2pi ] determine cos x e tg x

Answer 1

1) $\cos x=-0,8,$ e $x \in [\pi;\,\frac{3\pi}{2}].$

$\bullet\;\;$ Cálculo do seno de $x:$

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos

$\cos^{2} x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=1-\cos^{2} x\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=1-(0,8)^{2}\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=1-0,64\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=0,36\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm \sqrt{0,36}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm 0,6$


Como $x$ é um arco do terceiro quadrante, o seno de $x$ é negativo. Portanto,

$\mathrm{sen\,}x=-0,6$


$\bullet\;\;$ Cálculo da tangente de $x:$

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{-0,6}{-0,8}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=0,75$


2) $\mathrm{sen\,}x=-\frac{12}{13},$ e $x \in [\frac{3\pi}{2};\,2\pi].$

$\bullet\;\;$ Cálculo do cosseno de $x:$

Novamente, pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos

$\cos^{2} x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \cos^{2} x=1-\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \cos^{2} x=1-(-\frac{12}{13})^{2}\\ \\ \cos^{2} x=1-\frac{144}{169}\\ \\ \cos^{2} x=\frac{169-144}{169}\\ \\ \cos^{2} x=\frac{25}{169}\\ \\ \cos x=\pm \sqrt{\frac{25}{169}}\\ \\ \cos x=\pm \frac{5}{13}$


Como $x$ é um arco do quarto quadrante, o cosseno de $x$ é positivo. Então,

$\cos x=\frac{5}{13}$


$\bullet\;\;$ Cálculo da tangente de $x:$

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{(-\frac{12}{13})}{(\frac{5}{13})}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=-\frac{12}{\diagup\!\!\!\!\! 13}\cdot \frac{\diagup\!\!\!\!\! 13}{5}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=-\frac{12}{5}$