Question

A temperatura, em graus Celsius, na superfície de uma placa metálica é dada por T(x, y)= 20 - 4x²- y² , onde x e y são medidos em metros. Em que direção a temperatura cresce mais rapidamente no ponto (2, -3)? Qual a maior taxa de crescimento?

Answer 1

Cresce mais rapidamente na direcao do vetor gradiente:

$\nabla T(x, y) = \frac{\partial T}{\partial x} \hat i + \frac{\partial T}{\partial y} \hat j \\\nabla T(x, y) = -8x \hat i - 2y \hat j\\\nabla T(2, -3) = -8*2 \hat i - 2(-3) \hat j\\\nabla T(2, -3) = -16 \hat i + 6 \hat j$

Taxa de crescimento, basta calcular o modulo do gradiente:

$||\nabla T(2, -3)|| = \sqrt{16^2 + 6^2}\\||\nabla T(2, -3)|| = 2\sqrt{73}\ ^oC /m$