Question

termo X4 no desenvolvimento do binômio x mais 3 elevado a 8

Answer 1

Fórmula do termo geral:

No desenvolvimento da potência

$(a+b)^{n}$

que possui $n+1$ termos, o termo na posição $k+1$ (ou $k+1$-ésimo termo) é dado por

$\boxed{t_{k+1}=\dbinom{n}{k}\cdot a^{n-k}\,b^{k}}\;\;\;\;\;0 \leq k \leq n$


Na questão dada, temos o desenvolvimento do binômio

$(x+3)^{8}\;\;\Rightarrow\;\;\;a=x,\;b=3,\;n=8$


O desenvolvimento tem $8+1=9$ termos.

Estamos interessados no termo em que $x$ está elevado à quarta potência:

$t_{k+1}=\dbinom{8}{k}\cdot x^{8-k}\,3^{k}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;8-k=4\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{k=4}$


Portanto, o termo procurado é o quinto termo ($4+1=5$), e é dado por

$t_{5}=\dbinom{8}{4}\cdot x^{8-4}\,3^{4}\\ \\ \\ t_{5}=\dfrac{8!}{4!\cdot(8-4)!}\cdot x^{4}\cdot 3^{4}\\ \\ \\ t_{5}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{4!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}\cdot x^{4}\cdot 3^{4}\\ \\ \\ t_{5}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{4}\cdot 3^{4}\\ \\ \\ t_{5}=70 \cdot x^{4}\cdot 81\\ \\ t_{5}=5\,670x^{4}$