Question

A razão entre logaritmo de 2 e o logaritmo de 4 numa base positiva e diferente de 1 e:​

Answer 1

Antes da resolução, vamos entender a seguinte informação passada no enunciado: "numa base positiva e diferente de 1"

Perceba que a base está em um intervalo de infinito, ou seja, ela não é especificada, há infinitas possibilidades de base, mas saber qual seu valor não será necessário. Essa informação foi colocada apenas para garantir que os dois logaritmos dados atendam às condições de existências do logaritmos, a base deve ser positiva e diferente de 1 para que o logaritmo esteja definido nos Reais.

Certo, o enunciado nos pede então para calcular a razão entre o logaritmo de 2 e o logaritmo de 4 em uma base que chamaremos aqui de "b".

Seja "x" o resultado dessa razão, temos:

$\dfrac{\log_{\,b}2}{\log_{\,b}4}~=~x$

Aplicando a propriedade da troca de base, que pode ser vista abaixo, podemos reescrever a razão de dois logaritmos como um logaritmo apenas.

$\tt{Troca~de~Base}:~~~\boxed{\log_{c}a~=~\dfrac{\log_{b}a}{\log_b c}}$

Com a aplicação dessa propriedade, fica:

$\log_{\,4} 2~=~x$

Aplicando a definição de logaritmo:

$\log_{\,4}2~=~x~~~\Longleftrightarrow~~~\boxed{2~=~4^x}$

Chegamos em uma igualdade de potências, vamos tentar igualar as bases.

$2^1~=~4^x\\\\\\2^1~=~\left(2^2\right)^x\\\\\\2^1~=~2^{2\cdot x}$

Como as duas potências possuem bases idênticas, para que a igualdade seja mantida, os expoentes também devem ser iguais, portanto:

$\backslash\!\!\!2^1~=~\backslash\!\!\!2^{2x}\\\\\\1~=~2x\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{1}{2}}\\\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$