9. Sobre projeções ortogonais, Pedro afirmou que a projeção ortogonal de uma reta é sempre
uma reta. Ele está correto? Justifique sua resposta.
Respostas
Resposta:
A projeção ortogonal das figuras geométricas sobre um plano pode ser comparada à sombra desse mesmo objeto no horário em que o sol está mais alto no dia. Nesse horário, a sombra possui dimensões iguais às do objeto, mas não possui profundidade alguma.
As projeções ortogonais sempre são exploradas nas avaliações do Enem porque a única forma de resolver problemas sobre o possível formato de uma projeção é por meio de raciocínio lógico.
Veja a seguir as definições das projeções mais básicas e um exemplo de questão do Enem sobre esse conteúdo.
Projeção do ponto sobre o plano
A figura formada pela projeção ortogonal de um ponto P sobre o plano é o ponto P'. Essa projeção é definida como a extremidade do segmento de reta perpendicular ao plano cuja outra extremidade seja o ponto P.
Observe que um segmento de reta é perpendicular a um plano quando, dado o ponto P' de intersecção entre os dois, todas as retas pertencentes a esse plano que passam por esse ponto P' são perpendiculares ao segmento de reta dado. Para verificar isso, é suficiente observar duas retas perpendiculares contidas no plano.
Projeção ortogonal P do ponto P sobre o plano
Projeção ortogonal P' do ponto P sobre o plano
Projeção da reta sobre o plano
A figura formada pela projeção ortogonal de uma reta r sobre o plano é outra reta s. Essa projeção é definida como a intersecção entre o plano que contém a reta r e o plano que contém a reta s quando os dois são perpendiculares.
No caso particular em que a reta r já é perpendicular ao plano, a sua projeção sobre esse plano é apenas um ponto.
Projeção ortogonal da reta r sobre um plano
Projeção ortogonal da reta r sobre um plano
Projeção do segmento de reta sobre o plano
A figura formada pela projeção ortogonal de um segmento de reta sobre o plano é outro segmento de reta. Essa projeção é definida como o segmento de reta cujas extremidades são as projeções ortogonais dos pontos extremos do segmento de reta inicial. A imagem a seguir ilustra essa situação.
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Os segmentos de reta também possuem uma particularidade: se o segmento for perpendicular ao plano, sua projeção ortogonal será apenas um ponto.
Projeção de uma figura sobre o plano
A projeção ortogonal de uma figura geométrica qualquer sobre o plano é o conjunto das projeções ortogonais de seus pontos sobre o plano. Sendo assim, cada ponto dessa figura representa a extremidade de um segmento de reta. A outra extremidade está no plano, e a figura formada por todas essas últimas é a projeção ortogonal da figura geométrica.
Exemplo
(Enem-2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura.
A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por:
Solução:
Observe que, para quem olha de cima para baixo, a projeção ortogonal forma uma curva que se estende de A até B e, depois disso, faz um pequeno movimento para dentro e para a esquerda, quando “sobe” no mapa. Assim, a alternativa correta é a letra E.