Question

Alguém consegue me ajudar nessas questões de cálculo 2?

Answer 1

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ 3)}~\gray{\int \dfrac{x}{x^2 + x - 6}}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{3}{5} \cdot ln (x + 3) + \dfrac{2}{5} \cdot ln (x - 2) + C }~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá novamente, Myumik. Vamos a mais um exercício❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas, e após o resultado você encontrará um link com mais informações sobre Fatoração de Polinômios que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ \int \dfrac{x}{x^2 + x - 6} }}}$

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1)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Relembrando da fatoração do tipo Trinômio da Soma e Produto podemos identificar que

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➡ $\sf\blue{ s + p = 1 }$

➡ $\sf\blue{ s = 1 - p }$

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➡ $\sf\blue{ s \cdot p = -6 }$

➡ $\sf\blue{ (1 - p) \cdot p = -6 }$

➡ $\sf\blue{ -p^2 + p + 6 = 0 }$

➡ $\sf\blue{ \Delta = 25 }$

➡ $\sf\blue{ p_1 = 3~e~p_2 = -2 }$

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➡ $\sf\blue{ s_1 = -2~e~ s_2 = 3 }$

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ \dfrac{x}{x^2 + x - 6} = \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 2} }}}$

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☔ Este é, portanto, um caso 1 das frações parciais (os fatores de nossa f(x) são todos lineares e não há repetição).

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ 1)}~\gray{ \dfrac{x}{x^2 + x - 6}}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 2}~(1^{\circ}~caso) }~~~}}$ ✅

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2)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\sf\blue{ \dfrac{x}{x^2 + x - 6} = \dfrac{A}{x + 3} \cdot \dfrac{x - 2}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 2} \cdot \dfrac{x + 3}{x + 3} }$

➡ $\sf\blue{ \dfrac{x}{x^2 + x - 6} = \dfrac{A \cdot (x - 2)}{(x + 3) \cdot (x - 2)} + \dfrac{B \cdot (x + 3)}{(x - 2) \cdot (x + 3)} }$

➡ $\sf\blue{ \dfrac{x}{x^2 + x - 6} = \dfrac{A \cdot (x - 2) + B \cdot (x + 3)}{(x + 3) \cdot (x - 2)} }$

➡ $\sf\blue{ \dfrac{x}{x^2 + x - 6} = \dfrac{A \cdot (x - 2) + B \cdot (x + 3)}{x^2 + x - 6} }$

➡ $\sf\blue{ x = A \cdot (x - 2) + B \cdot (x + 3) }$

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☔ Para x = 2 teremos

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➡ $\sf\blue{ 2 = B \cdot (2 + 3) }$

➡ $\sf\blue{ B = \dfrac{2}{5} }$

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☔ Para x = -3 teremos

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➡ $\sf\blue{ -3 = A \cdot (-3 - 2) }$

➡ $\sf\blue{ A = \dfrac{3}{5} }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ 2)}~\gray{A~e~B}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{3}{5}~e~\dfrac{2}{5} }~~~}}$ ✅

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3)$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\sf\blue{ \dfrac{x}{x^2 + x - 6} = \dfrac{3}{5(x + 3)} + \dfrac{2}{5(x - 2)} }$

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ \displaystyle\int \dfrac{x}{x^2 + x - 6} = \displaystyle\int \left(\dfrac{3}{5(x + 3)} + \dfrac{2}{5(x - 2)}\right) }}}$

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☔ Lembremos da propriedade das integrais de que a integral de uma soma é equivalente a soma das integrais

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ \displaystyle\int (x + y) = \displaystyle\int x + \displaystyle\int y }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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➡ $\sf\blue{ = \displaystyle\int \left(\dfrac{3}{5(x + 3)}\right) + \displaystyle\int \left(\dfrac{2}{5(x - 2)}\right) }$

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☔ Lembremos também da propriedade das integrais de que a integral de um coeficiente multiplicando uma variável é igual ao produto do coeficiente pela integral da variável

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ \displaystyle\int (a \cdot x) = a \cdot \displaystyle\int x }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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➡ $\sf\blue{ = \dfrac{3}{5} \cdot \displaystyle\int \left(\dfrac{1}{x + 3}\right) + \dfrac{2}{5} \cdot \displaystyle\int \left(\dfrac{1}{x - 2}\right) }$

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☔ Relembrando que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\rm\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{ \dfrac{d}{dx}(ln(x)) = \dfrac{1}{x} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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➡ $\sf\blue{ = \dfrac{3}{5} \cdot ln (x + 3) + \dfrac{2}{5} \cdot ln (x - 2) + C}$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ 3)}~\gray{\int \dfrac{x}{x^2 + x - 6}}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{3}{5} \cdot ln (x + 3) + \dfrac{2}{5} \cdot ln (x - 2) + C }~~~}}$ ✅

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✈ Fatoração de Polinômios (https://brainly.com.br/tarefa/36548155)

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$