Question

Simplifique, ao máximo possível a expressão: m! + (m-1)! / (m+1)!

Answer 1

Temos que seguir a seguinte sequência:

$\boxed{...(m+3) \cdot (m+2) \cdot (m+1) \cdot m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot (m-3)...}} \\\\ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow \ \longrightarrow$


Por isso, numa conta como essa, temos sempre que identificar o maior (quanto mais para a direita maior), para que possamos chegar nele. Neste caso é o (m-1)

$\frac{m! + (m-1)!}{(m+1)!} \\\\ \frac{m \cdot (m-1)! + (m-1)!}{(m+1) \cdot m \cdot (m-1)!} \\\\ \frac{(m-1)! \cdot [m+1]}{(m-1)! \cdot [m \cdot (m+1)]} \\\\ \frac{\not{(m-1)!} \cdot [m+1]}{\not{(m-1)!} \cdot [m \cdot (m+1)]} \\\\ \frac{m+1}{m \cdot (m+1)} \\\\ \boxed{\boxed{\frac{m+1}{m^{2}+m}}}$