Question

O cálculo do centro de massa é de suma importância para diversas áreas, como por exemplo, na construção civil.


Coordenada x do centro de massa

x=1/A ∫ x[f(x)-g(x)] dx


Coordenada y do centro de massa

y=1/2A ∫ [f^2(x)-g^2(x)] dx


Área delimitada pelos gráficos da função f(x) e g(x)

A=∫[f(x)-g(x)] dx


a) Calcule a área delimitada pelos gráficos da função f(x)=x e g(x)=x^2

b)Calcule a coordenada x do centro de massa

c)Calcule a coordenada y do centro de massa


Preciso do calculo por favor.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre centros de massa.

Sejam duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínua em um determinado intervalo fechado $[a,~b]$, em que $f(x)>g(x)$, a área $\mathbf{A}$ da região delimitada pelas curvas é dada pela integral: $\mathbf{A}=\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

As coordenadas $x_M$ e $y_M$ do centro de massa dessa região são calculadas pelas fórmulas:

$\begin{cases}x_M=\dfrac{\displaystyle{\int_a^b x\cdot[f(x)-g(x)]\,dx}}{A}\\\\ y_M=\dfrac{\displaystyle{\int_a^b f^2(x)-g^2(x)\,dx}}{2A}\\\end{cases}$

Então, sejam as funções $f(x)=x$ e $g(x) = x^2$.

Para encontrarmos o intervalo de integração, igualamos as funções:

$f(x)=g(x)\\\\\\ x=x^2$

Resolvendo esta equação quadrática, facilmente encontramos:

$x=0~~~\mathbf{ou}~~~x=1$

Logo, o intervalo de integração será: $[0,~1]$.

Observe que neste intervalo, $x>x^2$, assim a área da região delimitada pelas funções será calculada pela integral: $\mathbf{A}=\displaystyle{\int_0^1 x-x^2\,dx}$

Calculamos a integral

$A =\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1\\\\\\ A=\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^3}{3}-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{0^3}{3}\right)\\\\\\ A = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\\\\\ A = \dfrac{1}{6}$

Então, substituindo as funções, os limites de integração e a área da região nas fórmulas, calculamos os centros de massa:

$x_M=\dfrac{\displaystyle{\int_0^1x\cdot[x-x^2]\,dx}}{\dfrac{1}{6}}\\\\\\ y_M=\dfrac{\displaystyle{\int_0^1 x^2-x^4\,dx}}{2\cdot \dfrac{1}{6}}$

Calcule as integrais e as frações de frações.

Primeiro, calcule a coordenada $x_M$:

$x_M=\dfrac{\displaystyle{\int_0^1x^2-x^3\,dx}}{\dfrac{1}{6}}\\\\\\ x_M=\dfrac{\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^1}{\dfrac{1}{6}}\\\\\\ x_M=\dfrac{\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{1^4}{4}-\left(\dfrac{0^3}{3}-\dfrac{0^4}{4}\right)}{\dfrac{1}{6}}\\\\\\ x_M=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{6}}\\\\\\ x_M=\dfrac{1}{2}$

Então, calcule a coordenada $y_M$

$y_M=\dfrac{\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}~\biggr|_0^1}{\dfrac{1}{3}}\\\\\\ y_M=\dfrac{\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{1^5}{5}-\left(\dfrac{0^3}{3}-\dfrac{0^5}{5}\right)}{\dfrac{1}{3}}\\\\\\ y_M=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{\dfrac{1}{3}}\\\\\\ y_M=\dfrac{2}{5}$

Assim, as coordenadas do centro de massa $M=\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{2}{5}\right)$

Estas são as respostas para as alternativas desta questão.