Question

Sabe-se que em uma P.A crescente de 5 termos a soma total é de 185. O produto de dois termos de ordem par é 1320. Determine a razao dessa P.A e o produto dos termos extremos.​

Answer 1

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é dado pela fórmula $S_n=\frac{(a_1+a_n)*n}{2}$. Dessa forma, temos que:

$S_5=185$

$\frac{(a_1+a_5)*5}{2}=185$

$a_1+a_5=74$

Sendo $a_5=a_1+4r$, onde $r$ é a razão da PA, ficamos com:

$a_1+a_1+4r=74$

$2a_1+4r=74$

$a_1+2r=37$

Perceba que $a_1+2r=a_3$, logo $a_3=37$. Como $a_2$ e $a_4$ são os únicos termos pares da PA, temos que $a_2*a_4=1.320$. Sendo $a_2=a_3-r$ e $a_4=a_3+r$, ficamos com:

$(a_3-r)*(a_3+r)=1.320$

$(37-r)*(37+r)=1.320$

Aplicando o produto notável $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$37^2-r^2=1.320$

$r^2=37^2-1.320$

$r^2=49$

$r=\pm7$

Como a PA é crescente, concluímos que $r=7$. Sendo $a_1+2r=37$, achamos que $a_1=37-2*7=23$. Como $a_5=74-a_1$, ficamos com $a_5=74-23=51$, logo $a_1*a_5=23*51=1.173$.