• Matéria: Matemática
  • Autor: Clarice4ever
  • Perguntado 5 anos atrás

Pessoal, Alguém poderia me explicar de forma detalhada a resolução deste exercício!?




1-Determine o quociente e o resto da divisão de x^{100} +x+1 por x^{2} -1

Respostas

respondido por: Zecol
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Basicamente devemos utilizar o método da chave (o mesmo método usado para realizar a divisão entre números). Devido às limitações do Brainly não poderei mostrar o método de forma visual, mas tentarei o meu melhor escrevendo.

O processo é simples: Devemos inicialmente buscar um termo ax^n que multiplicado pelo termo de maior grau do divisor resulte no termo de maior grau do dividendo. No caso, o termo de maior grau do divisor é x^2 e do dividendo é x^{100}, logo ax^n\cdot x^2=x^{100}. Daí tiramos que ax^n=x^{98}. Esse é o 1º termo do quociente.

Devemos agora subtrair do dividendo o produto entre ax^n pelo divisor. Temos então x^{100}+x+1-x^{98}\cdot(x^2-1). Desenvolvendo essa expressão, ficamos com x^{98}+x+1. Esse polinômio agora é o nosso próximo dividendo.

Repetindo o processo, devemos achar um novo ax^n tal que ax^n\cdot x^2=x^{98}. Ficamos então com ax^n=x^{96}, sendo este o próximo termo do quociente. Subtraindo novamente o atual dividendo, ficamos com x^{98}+x+1-x^{96}\cdot(x^2-1), obtendo assim que o novo dividendo é x^{96}+x+1.

Devemos continuar realizado esse processo até que o grau do dividendo se torne menor que o grau do divisor. Realizando o processo mais uma vez, achamos que o próximo termo do quociente é x^{94} e o próximo dividendo é x^{94}+x+1.

Perceba que temos um padrão dos resultados. De forma geral, iremos realizar esse processo até chegar ao dividendo x^2+x+1. Nesse ponto, o valor de ax^n=1 e o dividendo resultante da subtração é x^2+x+1-1\cdot (x^2-1)=x+2. Como o grau de x+2 é menor que o do divisor x^2-1, terminamos o processo de divisão aí.

Esse dividendo restante x+2 é justamente o resto da divisão, enquanto a soma dos termos ax^n é o quociente da divisão. Concluímos assim que o resto da divisão é x+2 e o quociente é x^{98}+x^{96}+\cdots+x^4+x^2+1.

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